高一数学下数列·例题解析VIP专享VIP免费

数列·例题解析【例1】求出下列各数列的一个通项公式(1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863(3)(4)1213181151242928252，，，，…，，，，…解(1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n－1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n，所以，已知数列的通项公式为：．a=2n12nn+1(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n的(2n－1)与2n＋1的积，也即(2n－1)(2n＋1)，因此，所给数列的通项公式为：annnn22121()()．(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n与n＋2的积，也即n(n＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：annnn()()112·．(4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为1242921622521，4，9，16，25，…是序号n的平方即n2，分母均为2．因此所给数列的通项公式为．a=nn22【例2】求出下列各数列的一个通项公式．(1)2，0，2，0，2，…用心爱心专心(2)10000，，，，，，，，…131517(3)7，77，777，7777，77777，…(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…解(1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式an＝(－1)n+1＋1．所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a=2(n)0(n)n(2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然1315171102130415061767数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2，02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()nnnan(3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，7979797979797979797979×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a=(101)nn(4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．292929292929292929292911100.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a=n()n说明用心爱心专心1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．2．对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，an＝n2；奇数数列，an＝2n－1；偶数数列，an=2n；倒数数列，＝要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归an1n)纳出数列的通项公式．3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．【例3】已知数列，，，，…则是这个数列的第25221125几项．解4a=3n1nn77n由所给数列的前项，，，可归纳得通项公式为．此时运用方程的思想问题转化为解关于正整数的方程，解得＝，即是该数列的第项．252211253125n【例4】已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n(2)Sn＝n2＋1(3)Sn＝2n＋3(4)Sn＝(－1)n+1·n解(1)当n=1时，a1=S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，因此an=4n－5．(2)当n＝1时，a1＝S1=1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，由于a1不适合于此等式，因此，≥且∈．a=2n=12n1n2nN*n(3)当n＝1时，a1=S1＝2＋3=5；当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝2n＋3－(2n-1＋3)＝2n-1，由于a1不适合于此等式，用心爱心专心因此，＝≥且∈．a5n=12n2n*n1nN(4)当n＝1时，a1＝S1=(－1)2·1=1；当n≥2...