上海应用技术学院2010—2011学年第二学期《复变函数与积分变换》期（末）复习卷答案一．填空题（每空2分，共36分）1.若，，则=2.复数的指数形式是，幅角主值=。3.复数=，=（计算过程可见第三题）。4.设解析，则，==。5.设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。6.级数是条件收敛（填发散、条件收敛或绝对收敛）。7.=。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）8.设.，则是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点），=0。9.函数的奇点是（都是一级极点）10.是的本性奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点），=1。11.函数的幂级数展开式是。12.拉普拉斯变换的定义是。13.若,则。二．计算（前2题各4分，第3题6分）（1）说明函数在一点连续、可导、解析的关系。讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。对，设，则，即。第页1由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。（2）分别求和的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为，幅角4+2k(主值为4-)，实部、虚部。所以模为，幅角+2k(主值为)，实部、虚部。（3）验证是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，，所以当时，为解析函数。三.求,解：。其中k=0时可得相应主值。四.求在内的罗朗展开。在内的罗朗展开。将函数展成z的罗朗级数，并指出收敛范围。第页2解：1.对，因为在内有，故在内有2.对，在内时3.五．计算1.，其中C是从0到的直线段。解：由于zez是解析函数，用分部积分法可得2.其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为z=(2+i)t(t从0到1),dz=(2+i)dt。所以得到3.设，求（6分）解：第页3所以进而得4.（6分）。求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得当a在C内时，由高阶导数公式，得。5.解：的一级极点有z=0.5+k，其中在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得六.求拉氏变换，，。求下列函数的拉氏逆变换1.2..解：第页4七．叙述留数定理的内容。叙述柯西积分定理（即柯西-古萨基本定理）内容.叙述柯西积分公式及高阶导数公式内容.第页5
