(完整版)因式分解相关知识点整理【竞赛专用】VIP免费

若二次三项式axbxc的系数和abc0，则axbxc(x1)(axc)因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”2.常用公式：[1]a2b2(ab)(ab)[2](ab)2a22abb2[3]a3b3(ab)(a2∓abb2)[4](ab)3a33a2b3ab2b3[5]若n为正奇数，则anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)[6]若n为正整数，则anbn(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）：（1）按不同字母分组（2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起）（3）按不同项的系数分组注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况4.拆项与添项（1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。（2）可以配完全平方（配方法）5.十字相乘法（二次齐次式ax2bxycy2也可用此法分解，令y1代入原式即可）ax+c例子：×bx+dx+2adx+cd×x+3abx2+bcx3x+6x2+2xabx2+(adbc)x+cdx2+5x+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：ababbccd51123补充一个结论：22第1页-2008.09-v1.01三次齐次轮换式：l(xyz)m(xyyzzx)m(xyyzzx)kxyz6.双十字相乘法（应用于形如ax2bxycy2dyeyf的二元二次式，或者是形如ax2bxycy2dxzeyzfz2的三元齐次式.）把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可.7.换元法（略）8.余数定理（x、y的齐次式也可以采用同样的方法）f(x)anxnan1xn1a1xa0如果f(c)0，那么(xc)是f(x)的因式，反过来，如果(xc)是f(x)的因式，那么f(c)0.（证明过程略）注：有理根cpq的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数an的因数.如果整系数多项式f(x)的系数为1.q1，有理根都是整数根.补充三个重要结论：（1）若多项式的系数和等于0，那么1是它的根，即(x1)是它的一次因式.（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么-1是它的根，即(x1)是它的一次因式.（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的积.9.待定系数法设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可.10.轮换式与对称式两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）.基本轮换式一次齐次轮换式：l(xyz)二次齐次轮换式：l(x2y2z2)m(xyyzzx)333222222这里，l、m、n、k都是待定常数第2页-2008.09-v1.01（2）abc3abc（3）当abc0时，abc3abc（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f(x)anxan1x，并且1，，（可将x代入11设f(x)anxan1x3.p不整除a0.补充两个常用公式：（1）a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)33312(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2)33311.实数集与复数集内的分解（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式.nn1a1xa0（n是正整数），一定有复数c使得f(c)0.（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.（4）1的立方虚根13i2322多项式，求得因式）（5）单位根：一般地，在复数集内有n个n次单位根，它们是cos2knisin2kn(k1,2,,n)，其中cos2nnisin2nn1如果k与n互质，则cos2knisin2kn称为本原单位根.（6）分圆多项式：与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.分圆多项式在有理数集内不可约的.12.既约多项式相关知识（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823~1852）判别法nn1a1xa0是整系数多项式如果存在一个质数p满足以下条件：1.p不整除an；2.p整除其余的系数（a0,a1,,an1）；2那么，f(x)在有理数集内不可约.（2）绝对不可约有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约.第3页-2008.09-v1.01