固体理论习题一、简答题1、什么是原胞？Wigner-Seitz原胞的特点。a)在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。b)W-S原胞，是晶格中比较对称的一种原胞。其构成方法是以某个格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，由这些平分面构成的单元即为W-S原胞。2、讨论晶体电子结构，为什么要引入倒空间？3、周期性边界条件的物理意义。4、如何理解晶格振动的简谐近似，如何理解声子？5、什么是Fermi能级？绝对零度和有限温时候Fermi能级有什么区别？对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。有限温度的费米分布会引入费米能级附近的展宽，这个温度可以通过展宽来得到这个时候可以认为展宽与实际电子温度有关。6、什么是Landau能级？朗道能级是磁场中电子作回旋运动的量子化能级。考虑电子在均匀磁场B中运动。电子沿磁场方向的运动不受影响，但在垂直于磁场的平面内作回旋运动7、如何利用能带理论来解释导体、半导体、绝缘体？8、如何用Hubbard模型来描述Mott绝缘体。9、什么是近藤效应？自从1930年以来，实验上发现某些掺有磁性杂质原子的非磁性金属（例如，以铜、金、银等为基，掺入杂质铬、锰、铁等的稀固溶体）的电阻－温度曲线在低温下出现一个极小值。按照通常的电阻理论（见固体的导电性），稀固溶体的电阻应随温度下降而单调下降，最后趋于由杂质散射决定的剩余电阻，因此，难以理解上述现象。1964年，近藤淳对这个现象作了正确的解释，因此人们常把它称作近藤效应。近藤效应，英文：Kondoeffect含有极少量磁性杂质的晶态金属在低温下出现电阻极小的现象。二、证明题1、证明：面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方。2、证明Bloch定理。即：由，证明：电子波函数，且。5、在格点间距为a格点总数为N的一维单原子链中，证明6、利用紧束缚近似方法，考虑最近邻近似，论述一维单原子链体系的能谱有如下形式：，为原子能级，t为两原子之间的耦合能量；讨论该体系中能带的宽度，电子的有效质量。7、试用Anderson模型：证明d电子的态密度公式为：三、计算题1、一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为a,电子的波函数为(i)(ii)(iii)试求电子在这些状态的波矢量。2、一维双原子链原子间距为a,相邻原子质量分别为m和M。原子限制在沿链的方向运动，讨论描述原子振动的色散关系，并指出m=M时的极限情况。3、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量（i）求能量E到E+dE之间的状态数（态密度）；（ii）求此二维系统在绝对零度的Fermi能级。（iii）如果在z方向上加入强度为B的磁场，能谱如何变化。4、设有一维晶体的电子能带可写成，其中为晶格常数，是电子的质量。试求：（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。5、由Hubbard近似（i）推导如下对易关系：；（iii）描述在该近似下库仑相互作用对电子能级的影响。6、一个体系的自旋角动量量子数和磁量子数分别为S,m.同时定义则容易得出：。另一方面，知道玻色子湮灭和产生算符有如下关系式：，。（i）表示;（ii）利用的对易关系计算的对易关系。
