必修5基本不等式基本题型训练一、选择题1.[2013·常州质检]已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4答案：C解析： x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－(－x＋)－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．2.[2013·长沙质检]若0－1)的图象最低点的坐标为()A.(1,2)B.(1，－2)C.(1,1)D.(0,2)答案：D解析：y＝＝x＋1＋≥2，当x＋1＝，即x＝0时，y最小值为2，故选D项．4.已知m＝a＋(a>2)，n＝()x2－2(x<0)，则m，n之间的大小关系是()A.m>nB.m2，x<0，∴m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝22－x2<22＝4，∴m>n，故选A.5.[2013·商丘模拟]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为()A.12B.2C.3D.6答案：D解析：依题意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，因此9x＋3y的最小值是6，选D.16.已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(＋)>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A.[4，＋∞)B.(－∞，1]C.(－∞，4]D.(－∞，4)答案：D解析：因为(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝时等号成立，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D.二、填空题7.[2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．答案：13解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝即x＝1时等号成立．8.[2013·西安质检]函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．答案：2解析：由题知，函数图象恒过点A(1,1)，且点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n＝2，其中mn>0，所以＋＝(＋)(m＋n)＝(2＋＋)≥×(2＋2)＝2，当且仅当m＝n＝1时取得最小值，故所求的最小值为2.9.[2013·鹤岗模拟]若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．答案：4解析：由已知得a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4，则2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝4，∴2a＋b＋c的最小值为4.三、解答题10.[2013·梅州质检]已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1) x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，2即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2) x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.11.[2013·房山区模拟]已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)(1＋)(1＋)≥9.证明：(1)＋＋＝＋＋＝2(＋)， a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(2)方法一 a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.∴(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．方法二(1＋)(1＋)＝1＋＋＋.由(1)知，＋＋≥8，故(1＋)(1＋)＝1＋＋＋≥9.12.[2013·三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．解：(1)设DQ＝y，3则x2＋4xy＝200，y＝.S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38000＋4000x...
