2.1由比例线段产生的函数关系问题例12012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，53sinB，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．思路点拨1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答1．在Rt△ABC中，AC＝6，53sinB，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，3sin5MDBBM，所以65MD．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图41（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，4cos5BOBBM，所以85BO．此时425OA．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝32，4cos5BEBBO，所以158BO．此时658OA．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy．在Rt△ONF中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到22243()(10)()55xyxyy．整理，得2505040xyx．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，65MF，85BF．在Rt△OMF中，OF＝8421055xx，所以222426()()55OMx．在Rt△BPQ中，BP＝1，35PQ，45BQ．2在Rt△OPQ中，OF＝4461055xx，所以222463()()55OPx．①当MO＝MP＝1时，方程22426()()155x没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程22463()()155x，可得425xOA③当OM＝OP时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA．例22012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．答案（1）当M、N都在O右侧时，24122OMttOA，642163ONttOB，所以OMONOAOB．因此MN与AB不平行．3（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么ONOAOMOB．所以462426tt．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，24OMt，12OHt，3(12)MHt．(64)(12)52NHONOHttt．②如图3，42OMt，21OHt...
