一、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方.二.相似三角形的判定方法定理1两角对应相等的两个三角形相似.推论1平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;定理2三边对应成比例的两个三角形相似.定理3两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;定理4斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.2.如图，ABCD∥，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.ABCDEFO分析：欲证ED2=EO·EC，即证：只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO=ECED证明：∵ABCD∥∴∠C=A∠∵AO=OB，DF=FB∴∠A=B∠，∠B=FDB∠∴∠C=FDB∠又∵∠DEO=DEC∠∴△EDCEOD∽△∴，即ED2=EO·ECEDEO=ECED3.过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF·EG.ABCDEFG分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AEDFEB∽△，△AEBGED.∽△证明：∵ADBFABBC∥∥∴△AEDFEB∽△△AEBGED∽△∴∴EAEG=ABDGEFEA=BEED=ABDGEAEG=EFEAEAEG=EFEA4.已知在△ABC中，∠BAC=90°，ADBC⊥，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.ADEFBC分析：因△ABCABD∽△，所以要证即证，需证△BDFDAF.∽△AFDFACABADBDACABAFDFADBD证明：∵∠BAC=90°ADBC⊥∴∠ABC+C=90°∠∠ABC+BAD=90°∠∴∠BAD=C∠∵∠ADC=90°E是AC的中点，∴ED=EC∴∠EDC=C∠∵∠EDC=BDF∠AFDFADBD∴∠BDF=C=BAD∠∠又∵∠F=F∠∴△BDFDAF.∽△∴∵∠BAC=90°，ADBC⊥∴△ABCABD∽△∴∴ADBDACABAFDFACAB5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=AFE.∠求证：BD·CE=CD·BFFEDCBA由BD·CE=CD·BF，得分析：但△DBF与△DCE不相似因此，需作辅助线构造相似三角形BDBFCECD=5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=AFE.∠求证:BD·CE=CD·BFFEDCBAG方法一：过点C作CGAB,∥交DF于G则△DCGDBF∽△故再证CG=CE即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：过点C作CGDF,∥交AB于G故再证FG=CE即可5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=AFE.∠求证BD·CE=CD·BFBDBFFGCD=FEDCBAG5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF交AC于E,且∠FEA=AF.∠求证：BD·CE=CD·BF方法三：过点B作BGDF,∥交DF的延长线于G故再证BG=BF即可则△DCEDBG∽△DCCEBGDB=6.如图：已知△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，EF交BC的延长线于F.求证：FD2=FC·FBFEDCBA分析：由FD2=FC·FB，得FDFBFDFC=但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形.由于FD=FA，替换后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证△FABFCA∽△即可.7.已知,AB∥CDEF∥，（1）图中有几对相似的三角形？（2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？FABCDE⊿EDCEBA∽⊿⊿ADCAFE∽⊿⊿BDAEDF∽⊿CDEFABAEACAECEEFCDABCDAEACEFCDAECEABCD1111证比例式（或乘积式）的常用方法证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式(1)找相似三角形（或平行线）(2)没有相似三角形（或平行线）,利用等比例转化,或利用等线段转化,或等积转化,或构造辅助线转化
