2．3.1直线与平面垂直的判定学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直．2．知道直线与平面所成角的概念，并会求简单的角．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一直线和平面垂直的判定定理学习目标预习导学典例精析栏目链接例1如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.分析：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知ANPM⊥，只需在平面PBM中再找一条与PM不平行的直线与AN垂直即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：设圆O所在的平面为α， PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又 AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.点评：判定定理需要五个条件，缺一不可，判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．如图，在三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AB，求证：BC⊥平面PAB.证明： PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又 BCAB⊥，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.题型二求直线与平面所成的角学习目标预习导学典例精析栏目链接例2如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．(1)求证：PBDM⊥；(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)证明： N是PB的中点，PA＝AB，∴ANPB.⊥ PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又BAAD⊥，PA∩BA＝A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.又 AD∩AN＝A，从而PB⊥平面ADMN. DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)解析：如图，取AD的中点G，连接BG，NG，则BG∥CD.∴BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等． PB⊥平面ADMN，∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BGN中，sin∠BGN＝BNBG＝105.故CD与平面ADMN所成角的正弦值为105.点评：求斜线与平面所成的角要注意：一作，二证，三求三个步骤．学习目标预习导学典例精析栏目链接2．已知：如图，MA⊥平面ABC，Rt△BMC中，斜边BM＝5，∠MBC＝60°，AB＝4，求MC与平面CAB所成角的正弦值．解析： MA⊥平面ABC，∴AC为MC在平面CAB内的射影．∴∠MCA为直线MC与平面CAB所成的角．又 在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5×sin60°＝5×32＝532，在Rt△MAB中，MA＝MB2－AB2＝52－42＝3，在Rt△MAC中，sin∠MCA＝MAMC＝3532＝235.∴MC与平面CAB所成角的正弦值为235.题型三直线和平面垂直的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA＝AB＝2.(1)证明：BC⊥平面AMN.(2)求三棱锥NAMC的体积．(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)证明：因为ABCD是菱形，所以AB＝BC.又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M为BC中点，所以BC⊥AM.而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.(2)解析：因为S△AMC＝12AM·CM＝12×3×1＝32.又PA⊥底面ABCD，PA＝2，所以AN＝1.所以，三棱锥NAMC的体积V＝13S△AMC·AN＝13×32×1＝36.学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)解析：存在．如图，取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE12AD，又在菱形ABCD中，CM12AD，所以NEMC，即MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE＝12PD＝2.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：证明线面垂直的首选方法是线面垂直的判定定理，而有关几何体体积的计算往往要用到高，而高与面的垂线有关，灵活确定底与高是求体积的关键．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面...
