理科第19周立体几何中的向量方法（一）核心知识1.直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．（2）平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系（1）设直线l1和l2方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.（2）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.（3）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.（2）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.4.点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.自我测评1．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()．A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)解析∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP，在选项A中，MP＝(1,4,1)，∴n·MP＝0.答案A2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案D3．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．则即令z＝1，得∴n＝，∴平面ABC的单位法向量为±＝±.
