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高一数学上学期周清 第20周 立体几何中的向量方法 理-人教版高一全册数学试题VIP免费

高一数学上学期周清 第20周 立体几何中的向量方法 理-人教版高一全册数学试题_第1页
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理科第20周立体几何中的向量方法核心知识1.空间的角(1)异面直线所成的角如图,已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.(3)二面角的平面角如图在二面角αlβ的棱上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则∠AOB叫做二面角的平面角.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角θ满足cosθ=|cos〈m1,m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ=|cos〈m,n〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①,AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB,CD〉.(ⅱ)如图②③,n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉.自我测评1.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是().A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直解析建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),NO=(-1,1-t,-2),AM=(-2,0,1),NO·AM=0,则直线NO、AM的位置关系是异面垂直.答案C2.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是_______.解析∵cos〈a,b〉==,又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60°.3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为_______.解析cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°,其补角为135°,∴两平面所成的二面角为45°或135°.

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