高一数学三角函数的积化和差与和差化积通用版知识精讲VIP免费

高一数学三角函数的积化和差与和差化积通用版【本讲主要内容】三角函数的积化和差与和差化积【知识掌握】【知识点精析】1.公式的推导：sin()sincoscossin()Ssin()sincoscossin()Scos()coscossinsin()Ccos()coscossinsin()C()()sin()sin()sincosSS得：2()()sin()sin()cossinSS得：2()()cos()cos()coscosCC得：2()()cos()cos()sinsinCC得：2等式两边同时除以2，即得到积化和差公式（1）积化和差公式sincos[sin()sin()]12cossin[sin()sin()]12coscos[cos()cos()]12sinsin[cos()cos()]12公式特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角，，等式右边为它们的和差角。在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为使用方便，在积化和差公式中，令，，则，22，将其代入积化和差的公式（1）中，就有sincos(sinsin)sinsinsincos2212222同样可得到：用心爱心专心sinsincossin222coscoscoscos222coscossinsin222这样我们就得到了“和差化积”公式（2）和差化积公式：sinsinsincos222sinsincossin222coscoscoscos222coscossinsin222公式特点：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角，，等式右边为22与的形式。2.由于三角函数的积化和差与和差化积公式在记忆上有一定困难，所以高考试卷中这两组公式是给出的，但如果你对它们不熟的话，也很难运用自如，因此要明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得的，只有弄清了公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。【解题方法指导】例1.求值sincossincossinsin71587158分析一：要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数。注意到7158与和的关系，本题采用积化和差与和差化积公式求解。解法一：原式=sin(sinsin)cos(coscos)712237712237sinsincoscossincoscoscostantan()tantantantan23723721582158154530453014530133133313123分析二：利用7158这一特点，用两角差的正弦、余弦公式求解用心爱心专心解法二：原式=sin()cossincos()sinsin158158158158sincoscossincossincoscossinsinsinsinsincoscoscostancossin15815815815815815815815815130301321223评述：解法一属常规方法，只要公式记忆准确就可以完成。解法二，简洁明快，它的巧妙之处在于拆角上。因此，观察是前提，交换是关键，全面的观察和透彻的分析可避免盲目推演，本题解法二抓住7158这一等角变换不仅避免了和积互化，而且也能更好地考查推理运算能力。例2.化简：coscos()cos()2222343AAA分析：先利用二倍角公式降次，再和差化积，最后用诱导公式将此三角函数式化到最简。解：原式=1221432218322coscos()cos()AAA评述：本题求解过程中要注意倍角降次的作用，以及和差化积的使用，最后能求出值的一定要求出值来。例3.证明：tantansincoscos32222xxxxx分析：本题可以采用从左向右证，即切化弦，也可以从右向左证，把弦的问题转化成切的问题，还可以...