专题02数列核心考点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【经典示例】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.答题模板第一步，设量：等差数列、等比数列的运算往往先设出基本量（首项、公差或公比、项数等）.第二步，列式：利用等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式及中项等确定等量关系.第三步，求解：化简等量关系求得结果.第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性.【满分答案】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×＝(－1)n－1·.(2)由(1)得Sn＝1－＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.【解题技巧】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.模拟训练1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由得∴bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.核心考点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【经典示例】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.答题模板用错位相减法解决数列求和的模板：第一步，判断结构：若数列是由等差数列与等比数列（公比为）的对应项之积构成的，则可用此法求和；第二步，乘公比：设的前项和为，然后两边同乘以；第三步，错位相减：乘以公比后，向后错开一位，是含有（）的项对齐，然后两边同时作差；第四步，求和：将作差后的结果求和，从而表示出.【满分答案】(1)由题意有即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.【解题技巧】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.模拟训练2.已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．所以，所以．（2）由（1）知，，，①，②①-②有，解得：．核心考点三数列的综合应用数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【经典示例】已知数列中，（为非零常数），其前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求的值；（3）是否存在实数...
