专题四立体几何第1讲立体几何中的计算与位置关系练习一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又 n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案C2.(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.＋πB.＋πC.＋πD.1＋π解析由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C.答案C3.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.C.6πD.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案B4.(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6B.4C.6D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.答案C5.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.答案B二、填空题6.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK＝t，则t的取值范围是________.解析如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK， 平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是.答案7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是________.解析由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋.答案2＋8.(2016·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________.解析设直线AC与BD′所成角为θ，平面ACD翻折的角度为α，设O是AC中点，由已知得AC＝，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A，B，C，作DH⊥AC于H，翻折过程中，D′H始终与AC垂直，CH＝＝＝，则OH＝，DH＝＝，因此可设D′，则BD′＝，与CA平行的单位向量为n＝(0，1，0)，所以cosθ＝|cos〈BD，n〉|＝＝，所以cosα＝－1时，cosθ取最大值.答案三、解答题9.在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)，将△AEF折起到△A1EF的位置，连接A1B，A1C(如图2).(1)求证：FP∥平面A1EB；(2)求证：EF⊥A1B.证明(1) CP∶PB＝CF∶FA，∴FP∥BE，又BE⊂平面A1EB，FP⊄平面A1EB，∴FP∥平面A1EB.(2)不妨设正三角形ABC的边长为3，则AE＝1，AF＝2.又 ∠EAF＝60°，∴EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcos∠EAF＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴EF＝.在△AEF中，有AF2＝AE2＋EF2，∴EF⊥AE，即EF⊥AB.则在题图2中，有EF⊥A1E，EF⊥BE，又A1E，BE⊂平面A1BE，A1E∩BE＝E，∴EF⊥平面A1EB，又 A1B⊂平面A1EB，∴EF⊥A1B.10.(2017·江南十校联考)如图1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC＝3，CE＝1.求△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图2)，G是AF的中点.(1)求证：BG∥平面ECE；(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积.(1)证明如图，取EF的中点M，连接GM、MC，则GM綊AE. 等腰梯形ABCD中，BC＝1，AD＝3，∴BC綊AE.∴GM綊BC，∴四边形BCMG是平行四边形，∴BG∥CM.又CM⊂平面FCE，BG⊄平面FCE，∴BG∥平面FCE.(2)解 平面F...
