星期日(40分附加题部分)2017年____月____日选做部分请同学从下面给的四题中选定两题作答1.选修4－1：几何证明选讲如图，在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点为点P.求证：AP·AN＋BP·BM＝AB2.证明如图所示，作PE⊥AB于点E，因为AB为直径，所以∠ANB＝∠AMB＝90°，所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆.所以①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM，即AP·AN＋BP·BM＝AB2.2.选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝(c，d为实数).若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵A的逆矩阵A－1.解由题意知＝＝2，＝＝3，所以解得所以A＝，所以A－1＝.3.选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设点P是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值.解由ρsin＝3，可得ρ＝3.所以y－x＝6，即x－y＋6＝0，由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，所以圆心到直线l的距离d＝＝3，所以P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.4.选修4－5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.证明因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.必做部分1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；1(2)求二面角B－AB1－C平面角的余弦值.解如图，以{CA，CB，CC1}为正交基底，建立空间直角坐标系C－xyz，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，所以CB1＝(0，1，2)，AB＝(－1，1，0)，AB1＝(－1，1，2)，BA1＝(1，－1，2).(1)因为cos〈CB1，BA1〉＝＝＝，所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为.(2)设平面CAB1的法向量为m＝(x，y，z)，则即取平面CAB1的一个法向量为m＝(0，2，－1)；设平面BAB1的法向量为n＝(r，s，t)，则即取平面BAB1的一个法向量为n＝(1，1，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角B－AB1－C平面角的余弦值为.2.在数列{an}中，已知a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n≥2).(1)当n＝2，3时，分别求a－an－1an＋1的值，并判断a－an－1an＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n，使得5an＋1an＋1为完全平方数.解(1)由已知得a3＝70，a4＝180.所以当n＝2时，a－an－1an＋1＝－500；当n＝3时，a－an－1an＋1＝－500.猜想：a－an－1an＋1＝－500(n≥2).下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，结论成立.②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即a－ak－1ak＋1＝－500.将ak＋1＝3ak－ak－1代入上式，可得a－3akak＋1＋a＝－500.则当n＝k＋1时，a－akak＋2＝a－ak(3ak＋1－ak)＝a－3akak＋1＋a＝－500.故当n＝k＋1结论成立，根据①②可得a－an－1an＋1＝－500(n≥2)成立.(2)将an－1＝3an－an＋1代入a－an－1an＋1＝－500，得a－3anan＋1＋a＝－500，则5an＋1an＝(an＋1＋an)2＋500，5anan＋1＋1＝(an＋1＋an)2＋501，设5an＋1an＋1＝t2(t∈N*)，则t2－(an＋1＋an)2＝501，即[t－(an＋1＋an)](t＋an＋1＋an)＝501，又an＋1＋an∈N，且501＝1×501＝3×167，故或所以或由an＋1＋an＝250解得n＝3；由an＋1＋an＝82得n无整数解，所以当n＝3时，满足条件.2
