专题四立体几何练习文一、填空题1.(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.则上述结论正确的是________(填序号).解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又 n⊥β，∴n⊥l，③正确.答案③2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________.解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.答案6π3.(2016·徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.解析设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则高h＝＝8，则此圆锥的体积为πr2h＝π×36×8＝96π.答案96π4.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________.解析 PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2. ABCD是正方形，E是AC的中点，∴△CED是等腰直角三角形.AB＝1，故CE＝ED＝，S△CED＝CE·ED＝··＝.故VCPED＝VPCED＝·S△CED·PA＝··2＝.答案5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析 EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又 E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝AC＝×2＝.答案6.(2016·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).解析①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c⊂α，则②错误；③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④.1答案④7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________.解析棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝πr3，侧面积S2＝πr2，则＝＝，则a＝r，所以＝＝.答案8.(2016·无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.解析由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝S△AOB·VO＝.△VAB是边长为的等边三角形，其面积为×()2＝，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥O－VAB＝S△VAB·h＝×h＝V三棱锥V－AOB＝，解得h＝，即点O到平面VAB的距离是.答案二、解答题9.(2014·江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.10.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积.(1)证明如图连接A1C.2 直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形.∴点F在A1C上，且为A1C的中点.在△A1BC中， E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC.又 BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)证明 直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.又 EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF. B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1. EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1.(3)解VFABC＝VA1ABC＝××...
