专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习理一、填空题1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是________.解析当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.答案1或－2.过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则PR·PQ的值为________.解析当直线PQ与x轴重合时，|PR|＝|PQ|＝a.答案a23.方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析求k＝－sin2x－cosx的值域.k＝cos2x－cosx－1＝－.当cosx＝时，kmin＝－，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－≤k≤1.答案4.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则它的通项公式an＝________.解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足式子an＝2×3n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.答案2×3n－15.已知a为正常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________.解析原不等式即≥1＋－(x≥0)，(*)令＝t，t≥1，则x＝t2－1，所以(*)式可化为≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥1对t≥1恒成立，又a为正常数，所以a≤[(t＋1)2]min＝4，故a的最大值是4.答案46.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数k使得CA＋CB＝kCM成立，则k等于________.解析 MA＋MB＋MC＝0，∴M为已知△ABC的重心，取AB的中点D，∴CA＋CB＝2CD＝2×CM＝3CM， CA＋CB＝kCM，∴k＝3.答案37.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，则的值为________.解析若∠PF2F1＝90°，则PF＝PF＋F1F， PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，解得PF1＝，PF2＝，∴＝.若∠F2PF1＝90°，则F1F＝PF＋PF＝PF＋(6－PF1)2，解得PF1＝4，PF2＝2，∴＝2.综上所述，＝2或.答案2或8.已知函数f(x)＝lnx－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是________.解析依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，f(x)＝lnx－x＋－1(x＞0)，所以f′(x)＝－－＝.由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－.函数g(x2)＝－x＋2bx2－4，x2∈[1，2].当b＜1时，g(x2)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b＜1，解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是.答案二、解答题9.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}为常数列，所以{an}是以a1为首项的等差数列，设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.所以当n＞5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，Tn＝a1＋a2＋…＋an，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.所以Sn＝10.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性.解(1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，所以f′(x)＝＋＝.①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；由得x＞－1－a，故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.综上，当a...
