专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习文一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为________.解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.答案∪2.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是________.解析设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，PF1·PF2＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1.答案13.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2＋AF2的最大值为5，则b的值是________.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.答案4.(2016·苏北四市调研)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________.解析因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案(1，2]5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆x2－4x＋y2＋2＝0可化为(x－2)2＋y2＝2，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bx±ay＝0和圆(x－2)2＋y2＝2相交，所以＜，整理得b2＜a2，从而c2－a2＜a2，即c2＜2a2，所以e2＜2.又e＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)6.已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则PA＋PB的最大值为________.解析在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得PB＋PC＝10，所以PA＋PB＝10＋PA－PC，因为PA－PC≤AC＝5，所以当点P，A，C三点共线时，PA＋PB取得最大值15.答案15二、解答题7.(2015·苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，P1在y轴上的射影为M.动点N满足PM＝λPN且PM·QN＝0.(1)求点N的轨迹方程；(2)过点A(0，3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1·k2＝－9.求证：直线EF过定点.(1)解由PM＝λPN且PM·QN＝0可知，N，P，M三点共线且PM⊥QN.过点Q作QN⊥PM，垂足为N，设N(x，y).因为OP＝3，OQ＝1，由相似比可知P(3x，y).因为P在圆x2＋y2＝9上，所以(3x)2＋y2＝9，即＋x2＝1，所以点N的轨迹方程为＋x2＝1.(2)证明设E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，由得(k＋9)x2＋6k1x＝0，①解得x＝0或x＝－，所以xE＝－，yE＝k1＋3＝，所以E.因为k1k2＝－9，所以k2＝－，用－替代①中的k1，同理可得F.显然E，F关于原点对称，所以直线EF必过原点O.8.(2016·苏州调研)如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值.(1)解由题知B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1.联立解得或(舍)所以M.连接BF，则直线BF的方程为＋＝1，即x＋y－＝0，而BF＝a＝2，所以点M到直线BF的距离为d＝＝＝.故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.(2)证明设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，则直线PM的方程为y＝－x－1，联立化简得x2＋x＝0，解得M，所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，所以k1·k2＝－·m＝－为定值.9.(2016·南通、扬州、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.(1)若直线l的斜率为，求的...
