专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习文一、填空题1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝________.解析∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.答案－2.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.解析化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cosA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＝5.答案53.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝________.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.答案－4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案5.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.解析∵α为锐角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.答案6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.解析∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案87.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________.解析＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2，6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.1＋＝·＝·＝·，由正弦定理得：上式＝·＝4.答案48.(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析∵sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.∴cosC的最小值为.答案二、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值.解(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A，0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin，∵0＜A＜，∴＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值为1.10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值.解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.11.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，2再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝·sinC＝×＝1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理＝，得BC＝·sinA＝×＝500(m).乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.3
