专题三数列第1讲等差数列、等比数列的基本问题练习理一、填空题1.(2015·南通模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为________.解析设数列{an}的公差为d，∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10，∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10，∴5a5＝10，∴a5＝2.答案22.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，由已知，得解得q4＝.又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.答案33.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.解析根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大.答案84.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于________.解析由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).答案n(n＋1)5.(2016·宿迁调研)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于________.解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，则S40＝S30＋＝70＋＝150.答案1506.若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q＝________.解析由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.∴或解之得：或∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.答案97.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.解析设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝＝＝，当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.答案648.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.解析设数列{an}的首项和公差分别为a1，d，则则nSn＝n＝－n2.设函数f(x)＝－x2，则f′(x)＝x2－x，当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，所以函数f(x)min＝f，但6＜＜7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49，因为－48＞－49，所以最小值为－49.答案－49二、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.(1)证明由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.(2)解由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.10.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.11.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝(n≥2).因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝.所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，Sn＝＝2－.若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋，解得λ＝2.又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{Sn＋λn＋}成等差数列.
