专题七附加题（选做部分）第4讲不等式选讲练习理1.(2016·南京调研)设实数x，y，z满足x＋5y＋z＝9，求x2＋y2＋z2的最小值.解由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(12＋52＋12)≥(1·x＋5·y＋1·z)2.因为x＋5y＋z＝9，所以x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号，所以x2＋y2＋z2的最小值为3.2.(2011·江苏卷)解不等式：x＋|2x－1|＜3.解原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是.3.(2012·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.证明因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.4.(2016·苏州调研)设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0).(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求实数a的取值范围.(1)证明由a＞0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，当且仅当a＝1时，等号成立，所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝3＋＋a－3＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜；当0＜a≤3时，f(3)＝3＋＋3－a＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.综上，a的取值范围是.5.(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，因为a，b都是正数，所以a＋b＞0，又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，于是(a＋b)(a－b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2≥0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c).由a，b，c都是正数，得a＋b＋c＞0，因此≥abc.6.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1
