专题七附加题（选做部分）第1讲几何证明选讲练习理1.(2016·南京、盐城模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，点C，E为垂足，连接AD，BD，若AC＝4，DE＝3，求BD的长.解因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA＝∠DBA，又AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA.又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED.所以AE＝AC＝4，所以AD＝＝5.又＝，所以BD＝·AD＝.2.(2010·江苏卷)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.证明连接OD，则OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.3.(2011·江苏卷)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).求证：AB∶AC为定值.证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径.从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是＝＝＝.所以AB∶AC为定值.4.(2013·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以＝.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.5.(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.6.(2016·全国Ⅰ卷)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OA为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.证明(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切.(2)连接OD，因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证OO′⊥CD，所以AB∥CD.
