专题七附加题（必做部分）第2讲计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列练习理1.(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝.2.(2016·苏北四市调研)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)由已知，有P(A)＝＝.所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4).所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.3.(2015·南通调研)记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，an的个数为f(n)(n≥2，n∈N*).性质T：排列a1，a2，…，an中有且只有一个ai＞ai＋1(i∈{1，2，…，n－1}).(1)求f(3)；(2)求f(n).解(1)当n＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得ai＞ai＋1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)＝4.(2)在1，2，…，n的所有排列(a1，a2，…，an)中，若ai＝n(1≤i≤n－1)，从n－1个数1，2，3，…，n－1中选i－1个数按从小到大顺序排列为a1，a2，…，ai－1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为C.1若an＝n，则满足题意的排列个数为f(n－1).综上，f(n)＝f(n－1)＋C＝f(n－1)＋2n－1－1.从而f(n)＝－(n－3)＋f(3)＝2n－n－1.4.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.(1)解存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，则＝＝，＝＝，即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.(2)证明若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2C＝C＋C，2C＝C＋C，即＝＋，＝＋，所以＝＋，＝＋，整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.两式相减得n＝2r＋3，所以C，C，C，C成等差数列，由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立.5.(2010·江苏卷)已知△ABC的三边长都是有理数.(1)求证：cosA是有理数；2(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.证明(1)设三边长分别为a，b，c，cosA＝， a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数.(2)①当n＝1时，显然cosA是有理数；当n＝2时， cos2A＝2cos2A－1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即coskA、cos(k－1)A均是有理数.当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝coskAcosA－sinkAsinA＝c...
