专题七附加题（必做部分）第1讲立体几何中的向量方法练习理1.(2016·南通调研)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角A－PC－D的余弦值.解(1)如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2).设P(x0，y0，z0)，由SP＝SD得(x0，y0，z0－2)＝(0，2，－2)，所以x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.CP＝，AB＝(1，0，0).设直线AB与CP所成的角为α，由图可知，α为锐角，则cosα＝＝＝.(2)设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，由于AC＝(1，2，0)，AP＝，所以令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1).设平面DPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由于DC＝(1，0，0)，CP＝，所以令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1).设二面角A－PC－D的大小为θ，由于cos〈m，n〉＝＝－，由于θ为钝角，所以cosθ＝cos〈m，n〉＝－.2.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE,∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明法一连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD，又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.法二在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)解设AB＝2，则CF＝1.在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC.在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点.所以AB＝BC，GB⊥GC，因此GB，GC，GD两两垂直.以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1).可得H，F(0，，1)，故GH＝，GF＝(0，，1).设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，).因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB＝(，0，0).所以cos〈GB，n〉＝＝＝.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.3.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE.所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0).所以PE＝(1，0，－2)，EC＝(1，1，0)，AP＝(0，0，2).设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z).由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.法二由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE⊂平面PCE所以平面PCE⊥平...
