专题七附加题（必做部分）教师用书理第1讲立体几何中的向量方法高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属B级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属B级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属B级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属B级要求.INCLUDEPICTURE"E:\\孟凡瑞2016文件\\课件\\二轮\\江苏理数学\\真题感悟.tif"\*MERGEFORMATINET真题感悟(2015·江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.解以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).(1)因为AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0，2，0).因为PC＝(1，1，－2)，PD＝(0，2，－2).设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PC＝0，m·PD＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量，从而cos〈AD，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为BP＝(－1，0，2)，设BQ＝λBP＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB＝(0，－1，0)，则CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1，2λ)，又DP＝(0，－2，2)，从而cos〈CQ，DP〉＝＝.设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2〈CQ，DP〉＝＝≤.当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.因为y＝cosx在上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，ν＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥ν⇔μ＝λν⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.1(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，ν＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝，(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则|cosθ|＝|cos〈μ，ν〉|＝.INCLUDEPICTURE"E:\\孟凡瑞2016文件\\课件\\二轮\\江苏理数学\\热点聚焦.tif"\*MERGEFORMATINET热点一向量法证明平行与垂直【例1】如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法求证：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O.(1)OM＝，BA＝(－1，0，0)，∴OM·BA＝0，∴OM⊥BA. 棱柱ADE－BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴BA是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). DF＝(1，－1，1)，DM＝，DC＝(1，0，0)，CF＝(0，－1，1)，由得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0，1，1). n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.法二(1)OM＝OF＋FB＋BM＝DF－BF＋BA＝(DB＋BF)－BF＋BA＝－BD－BF＋BA＝－(BC＋BA)－BF＋BA＝－BC－BF.∴向量OM与向量BF，BC共面，2又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由(1)及题意知，BF，BC，BA两两垂直， CD＝BA，FC＝BC－BF，∴OM·CD＝·BA＝0，OM·FC＝·(BC－BF)＝－BC2＋BF2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.探究提高解决本类问题的关键步骤是建立恰当的坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是...
