专题一函数与导数、不等式第5讲导数与实际应用及不等式问题练习文一、填空题1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′(x)＞0，且f(0)＝0，f＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________.解析如图所示，根据图象得不等式f(x)＜0的解集为∪.答案∪2.若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为________.解析条件可转化为a≤2lnx＋x＋恒成立.设f(x)＝2lnx＋x＋，则f′(x)＝(x＞0).当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝4.所以a≤4.答案(－∞，4]3.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是________.解析 2x(x－a)＜1，∴a＞x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞).答案(－1，＋∞)4.(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.解析令F(x)＝，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).答案(－∞，－1)∪(0，1)5.已知不等式ex－x＞ax的解集为P，若[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是________.解析由题意知不等式ex－x＞ax在x∈[0，2]上恒成立.当x＝0时，显然对任意实数a，该不等式都成立.当x∈(0，2]时，原不等式即a＜－1，令g(x)＝－1，则g′(x)＝，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当1＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，故g(x)在(0，2]上的最小值为g(1)＝e－1，故a的取值范围为(－∞，e－1).答案(－∞，e－1)6.设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是________.解析 f(x)＝sin的极值为±，即[f(x0)]2＝3.又|x0|≥，∴x＋[f(x0)]2≥＋3，∴＋3＜m2，解得m＞2或m＜－2.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)7.已知函数f(x)＝lnx－a，若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析 函数f(x)＝lnx－a，且f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a＞lnx－x2，x∈(1，＋∞).令h(x)＝lnx－x2，有h′(x)＝－2x. x＞1，∴－2x＜0，∴h(x)在(1，＋∞)上为减函数，∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜h(1)＝－1，∴a≥－1.答案[－1，＋∞)8.(2015·南师附中调研)已知函数f(x)＝x3－x2－3x＋，直线l：9x＋2y＋c＝0，若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是________.解析根据题意知x3－x2－3x＋＜－x－在x∈[－2，2]上恒成立，则－＞x3－x2＋x＋，设g(x)＝x3－x2＋x＋，则g′(x)＝x2－2x＋，则g′(x)＞0恒成立，所以g(x)在[－2，2]上单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝3，则c＜－6.答案(－∞，－6)二、解答题9.(2016·南通调研)已知函数f(x)＝x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：∀x1，x2∈(－∞，0]，f(x1)－f(x2)≤.(1)解f′(x)＝x(x＋2)ex.令f′(x)＝x(x＋2)ex＝0，则x1＝－2，x2＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x(－∞，－2)－2(－2，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，0)，单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞).(2)证明由(1)知f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)，所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最大值＝f(－2)＝.因为当x∈(－∞，－2]时，f(x)＞0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最小值＝f(0)＝0.所以f(x)最大值－f(x)最小值＝.所以对∀x1，x2∈(－∞，0]，都有f(x1)－f(x2)≤f(x)最大值－f(x)最小值＝.10.如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花...
