专题一函数与导数、不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题练习理一、填空题1.曲线y＝xex＋1在点(0，1)处的切线方程是________.解析y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，y′|x＝0＝1，∴所求切线方程为：x－y＋1＝0.答案x－y＋1＝02.(2016·洛阳模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________.解析依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－×2＝－1，所以a＝2.答案23.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.解析设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.答案2x＋y＋1＝04.已知f(x)＝x3＋f′x2－x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是________.解析f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，可得f′＝3×＋2f′×－1，解得f′＝－1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是－1.答案－15.函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________.解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1，3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案36.(2016·常州监测)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.答案(－4，0)7.已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若g(x)＝f(x)＋，则函数g(x)的零点个数为________.解析令h(x)＝xf(x)，因为当x≠0时，＞0，所以＞0，因此当x＞0时，h′(x)＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，又h(0)＝0，易知当x≠0时，h(x)＞0，又g(x)＝，所以g(x)≠0，故函数g(x)的零点个数为0.答案08.(2015·安徽卷)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.1解析令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，则需f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案①③④⑤二、解答题9.(2016·扬州质检)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.因为x∈，所以当g′(x)＝0时，x＝1.当＜x＜1时，g′(x)＞0，此时函数单调递增；当1＜x＜e时，g′(x)＜0，此时函数单调递减.故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g＝4－e2＋＜0，则g(e)＜g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1＜m≤2＋，所以实数m的取值范围是.10.(2015·江苏高考命题原创卷)已知函数f(x)＝x2－alnx－1，函数F(x)＝.(1)如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，你认为函数y＝的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.解(1) f(x)＝x2－alnx－1的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴f′(x)＝2x－＞0在(0，＋∞)上恒成立.∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立， y＝...
