专题三数列第2讲数列的求和及应用练习理一、选择题1.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A.n2＋1－B.n2＋2－C.n2＋1－D.n2＋2－解析an＝(2n－1)＋，∴Sn＝＋＝n2＋1－.答案A2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于()A.20B.40C.60D.80解析由an＋1＝(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×＋1＋3＋3＋1＝60.答案C3.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－＋解析 ＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.答案C4.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则∑a2k＝()A.B.C.D.解析当n＝1时，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1). an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，选B.答案B5.数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为()A.470B.490C.495D.510解析因为an＝n2＝n2cos，由于cos以3为周期，且cos＝－，cos＝－，cos＝1，所以S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝＝＝470.答案A二、填空题6.在数列{an}中，an＝＋＋…＋，若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn为________.解析an＝＋＋…＋＝＝.∴bn＝＝＝＝8，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝8＝8＝.答案7.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.解析 a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.答案8.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.解析(1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，则S3＝S2＋a3＝a3＝－.(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－，又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝.答案(1)－(2)三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|＜，得＜，即2n＞1000，因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.10.(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.解(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an).由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.11.数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，n＝1，2，3，….(1)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn.证明：当n≥6时，|Sn－2|＜.(1)解 a1＝1，a2＝2，∴a3＝a1＋sin2＝a1＋1＝2，a4＝(1＋cos2π)a2＋sin2π＝2a2＝4，当n＝2k－1时，a2k＋1＝a2k－1＋sin2＝a2k－1＋1，即a2k＋1－a2k－1＝1，所以数列{a2k－1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a2k－1＝...
