专题三数列第2讲数列求和训练文一、选择题1.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A.n2＋1－B.n2＋2－C.n2＋1－D.n2＋2－解析an＝(2n－1)＋，∴Sn＝＋＝n2＋1－.答案A2.若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为()A.1－B.－－C.－－D.－－解析因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.答案D3.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－＋解析∵＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.答案C4.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则∑a2k＝()A.B.C.D.解析当n＝1时，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1).∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，选B.答案B5.(2016·长沙模拟)数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为()A.470B.490C.495D.510解析因为an＝n2＝n2cos，由于cos以3为周期，cos＝－，cos＝－，cos＝1，所以S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝＝＝470.答案A二、填空题6.在数列{an}中，an＝＋＋…＋，若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn为________.解析an＝＋＋…＋＝＝.∴bn＝＝＝＝8，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝8＝8＝.答案7.(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝(n≥2)，由于当n＝1时a1＝1也满足上式，故an＝(n∈N*)，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.答案8.在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________.解析法一依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58＋a60)＝15.因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480.法二∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}为等差数列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，∴S60＝4×15＋×4＝480.答案480三、解答题9.(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由题意有即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.10.(2016·贵州七校一模)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<.(1)解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1代入S＝an，得2SnSn－1＋Sn－Sn－1＝0，由于Sn≠0，所以－＝2，所以是首项为1，公差为2的等差数列，从而＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝.(2)证明因为bn＝＝＝，所以Tn＝＝<，所以Tn<.11.(2015·湖南卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3,n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)解由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝.从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1).综上所述，Sn＝
