第3讲等比数列基础巩固1.已知等差数列{an}的公差为-2,且a2,a4,a5成等比数列,则a2等于()A.-4B.-6C.8D.-8【答案】C【解析】因为a2,a4,a5成等比数列,所以=a2·a5.因数列{an}是等差数列,且其公差为-2,故有(a2+2d)2=a2(a2+3d),整理得a2=-4d,即a2=8.2.若等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“对于任意正整数n,都有an+1>an”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当a1<0时,条件与结论均不能由一方推出另一方.3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7【答案】D【解析】∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8,联立可解得当时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.4.已知等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6等于()A.240B.±240C.480D.±480【答案】C【解析】∵{an}为等比数列,∴数列a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列.于是有(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),又∵a1+a2=30,a3+a4=120,∴a5+a6==480.5.(2012·安徽卷,5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=()A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】由题意可得a3·a11==16,即a7=4.故a5==1.6.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】∵a1·a2·a3·a4·a5==(a1·q2)5=q10,∴am=a1·qm-1=qm-1=q10.故m=11.7.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)【答案】D【解析】等比数列中有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,故有X(Z-Y)=(Y-X)2,1两边展开有XZ-XY=Y2-2XY+X2,即XZ=Y2-XY+X2,移项有Y2-XY=-X2+XZ,提取公因式,得Y(Y-X)=X(Z-X).故选D.8.(2012·广东卷,12)若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a5=.【答案】【解析】由等比数列的性质得a2·a4=a1·a5=,于是a1··a5=.9.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=.【答案】4n-1【解析】由题意知a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=21,①又∵q=4,∴①式为a1+4a1+16a1=21a1=21,即a1=1.故an=a1·qn-1=1×4n-1=4n-1.10.数列{an}满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a10=.【答案】1280【解析】由已知得an+1=2an,故数列{an}是公比为2的等比数列.因此a10=a3×27=10×128=1280.11.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.【解】(1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-.故数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.(2)设数列{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入方程(*)得a=.12.(2012·陕西卷,16)已知等比数列{an}的公比q=-.(1)若a3=,求数列{an}的前n项和;(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.【解】(1)由a3=a1q2=及q=-,得a1=1,因此数列{an}的前n项和Sn=.(2)证明:对任意k∈N+,2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1),因为由q=-可得2q2-q-1=0,所以2ak+2-(ak+ak+1)=0.故对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an-1).(1)求a1,a2;(2)证明数列{an}是等比数列;(3)求an及Sn.【解】(1)∵a1=S1=(a1-1),∴a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),∴a2=.(2)证明:∵Sn=(an-1),∴Sn+1=(an+1-1).两式相减,得an+1=an+1-an,即an+1=-an,故数列{an}是首项为-,公比为-的等比数列.(3)由(2)得an=-·,Sn=.拓展延伸214.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得因此由等差数列的通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列,不满足条件;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,Sn=3
