第4讲数列求和基础巩固1.求和:3+33+333+3333+…+等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵×(10n-1),∴原式=[(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)]=[(10+102+…+10n)-n]=.2.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【答案】A【解析】该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.故选A.3.等差数列{an}的通项公式an=2n-1,若bn=,{bn}的前n项和为Sn,则Sn等于()A.B.C.D.以上都不对【答案】B【解析】∵an=2n-1,∴bn=,故Sn==.4.(2013届·辽宁沈阳检测)设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则对任意正整数n,Sn=()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn=.5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则数列{|an|}的前n项和Tn等于()A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.【答案】C【解析】∵由Sn=n2-6n可得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为2,于是an=-5+(n-1)×2=2n-7,∴n≤3时,an<0;n>3时an>0.故Tn=6.设a1,a2,…,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+…+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50当中取零的项共有()A.11个B.12个C.15个D.25个【答案】A【解析】∵(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=+…++2(a1+a2+…+a50)+50=107,∴+…+=39.故a1,a2,…,a50中取零的项共有50-39=11个,应选A.17.设数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,把{an}中的每一项都减去2后,得到一个新数列{bn},{bn}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*,下列结论正确的是()A.bn+1=3bn,且Sn=(3n-1)B.bn+1=3bn-2,且Sn=(3n-1)C.bn+1=3bn+4,且Sn=(3n-1)-2nD.bn+1=3bn-4,且Sn=(3n-1)-2n【答案】C【解析】∵数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,∴数列{an}的通项公式an=3n-1,则依题意得,数列{bn}的通项公式为bn=3n-1-2.于是bn+1=3n-2,3bn=3(3n-1-2)=3n-6.因此bn+1=3bn+4.故数列{bn}的前n项和为Sn=(1-2)+(31-2)+(32-2)+(33-2)+…+(3n-1-2)=(1+31+32+33…+3n-1)-2n=-2n=(3n-1)-2n.8.(2012·北京西城上学期期末)已知{an}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则a1=;+…+=.【答案】2【解析】∵{an}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6,∴4a1-a1=6,即a1=2.于是an=a12n-1=2n.因此,即数列是首项为,公比为的等比数列.故+…+.9.已知数列{an}:,…,+…+,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn=.【答案】【解析】∵由已知条件可得数列{an}的通项公式为an=,∴bn==4.故Sn=4=4.10.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n的最小值是.【答案】63【解析】方法一:依题意有an=log2=log2(n+1)-log2(n+2),因此Sn=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2).令1-log2(n+2)<-5,解得n>62.故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63.方法二:因为Sn=log2+log2+…+log2=log2=log2,所以由Sn<-5得log2<-5,解得n>62.故使Sn<-5成立的自然数n有最小值63.11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,得解得故an=2n-1.(2)∵bn=+2n=·4n+2n,∴Tn=b1+b2+…+bn2=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=+n2+n=·4n+n2+n-.12.已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*满足关系式2Sn=3an-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的通项公式是bn=,前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn<1.【解】(1)由已知得(n≥2).于是2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即an=3an-1(n≥2).因此数列{an}为等比数列,且公比q=3.又当n=1时,2a1=3a1-3,即a1=3.故an=3n.(2)证明:∵bn=,∴Tn=b1+b2+…+bn=+…+=1-<1.13.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{bn}的通项公式bn;(3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【解】(1)∵Sn=3n,∴Sn-1=3n-1(n≥2).故an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).∵当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,∴an=(2)∵bn+1=bn+(2n-1),∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,bn-bn-1=2n-3.以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.∵b1=-1,∴bn=n2-2n.(3)由题意得cn=∵当n≥2时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,①∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n,②①②两式相减,得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.于是Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)=(n-2)×3n-.故Tn=即Tn=(n∈N*).拓展延伸14.(2012·山东卷,20)已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.【解】(1)设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn.由T5=105,a10=2a5,得到解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).(2)对m∈N*,若am=7n≤72m,则n≤72m-1.于是bm=72m-1,因此数列{bm}是首项为7、公比为49的等比数列,故Sm=.34
