第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础巩固1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.2.若sinα=,α∈,则cos的值为()A.-B.-C.-D.【答案】B【解析】∵sinα=,α∈,∴cosα=-.∴cos=coscosα+sinsinα=-.3.已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则β等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵α,β均为锐角,∴-<α-β<,从而cos(α-β)==.又∵sinα=,∴cosα==.∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=.∵0<β<,∴β=.4.已知tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两个根且0<α<,π<β<,则α+β的值为()A.B.C.D.kπ+(k∈Z)【答案】C【解析】由题意,知tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,tan(α+β)==1,又∵0<α<,π<β<,∴π<α+β<2π.故α+β=.5.(1+tan17°)(1+tan18°)(1+tan27°)(1+tan28°)的值是()A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】由(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°=1+tan45°(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2.同理(1+tan18°)(1+tan27°)=2.故原式=4.6.函数y=12sin+5sin的最大值是()A.6+B.17C.13D.12【答案】C【解析】y=12sin+5cos=12sin+5cos=13sin.1故ymax=13.7.已知cos+sinα=,则sin的值是()A.-B.C.-D.【答案】C【解析】∵cos+sinα=,∴cosα+sinα=.∴=.∴sin=.∴sin=.∵sin=sin=-sin,∴sin=-.故选C.8.(2012·山东烟台月考)定义运算=ad-bc,若cosα=,=,0<β<α<,则β等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】依题设得sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=.∵0<β<α<,∴cos(α-β)=.又∵cosα=,∴sinα=,sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,∴β=.故选D.9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cosαcosβ=.【答案】0【解析】cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-,两式相加,得2cosαcosβ=0,∴cosαcosβ=0.10.已知函数y=acosx+b的最大值是1,最小值是-7,则函数y=acosx+bsinx的值域为.【答案】[-5,5]【解析】当a>0时,ymax=a+b,ymin=-a+b,即解得故y=4cosx-3sinx的最大值为=5,最小值为-5,即值域为[-5,5].当a<0时,ymax=-a+b,ymin=a+b,即解得故y=-4cosx-3sinx的最大值为=5,最小值为-5,即值域为[-5,5].11.已知α为锐角,且sin2α-sinαcosα-2cos2α=0.(1)求tanα的值;(2)求sin的值.【解】(1)已知α为锐角,所以cosα≠0.又由sin2α-sinαcosα-2cos2α=0得tan2α-tanα-2=0,解得tanα=2,或tanα=-1.由α为锐角,得tanα=2.(2)∵tanα=2,且α为锐角,∴cosα=,sinα=.故sin=sinα-cosα=-=.212.(2013届·湖南衡阳月考)函数f(x)=cos+sin,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=,α∈,求tan的值.【解】(1)f(x)=cos+sin=sin+cos=sin.故f(x)的最小正周期T==4π.(2)由f(α)=,得sin+cos=,两边平方得1+sinα=,即sinα=.又∵α∈,∴cosα===.∴tanα==.∴tan===7.拓展延伸13.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.【解】(1)由已知条件及三角函数的定义可知cosα=,cosβ=,因α,β为锐角,从而sinα==.同理可得sinβ=.因此tanα=7,tanβ=.所以tan(α+β)===-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.又0<α<,0<β<,故0<α+2β<,从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.3
