第3讲充要条件与四种命题基础巩固1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【答案】B【解析】原命题的否命题是既否定条件,又否定结论.应选B.2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b【答案】D【解析】∵逆命题是以原命题的结论为条件,条件为结论的命题,∴这个命题的逆命题为:若|a|=|b|,则a=-b.3.(2012·天津卷,5)设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2x2+x-1>0,可得x<-1或x>,故“x>”是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件.4.(2013届·山东临沂月考)下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题【答案】A【解析】对于A,其逆命题是:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1,是假命题.如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.5.下列说法中,正确的是()A.命题“若am2
0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”C.命题p∨q为真命题,则命题p和命题q均为真命题D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项A,当a1”不能得到“x>2”,由“x>2”可得“x>1”,因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,D是错误的.综上所述,选B.6.设集合M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1【答案】A【解析】由|x-1|<2,得-20,则x2>0”的否命题是命题(填“真”或“假”).【答案】假【解析】其否命题为“若x≤0,则x2≤0”,它是假命题.8.已知p:x2-4x+3<0,q:<0,则p是q的条件.【答案】充分不必要【解析】由x2-4x+3<0得11”是“x1,得x<-1或x>1,又“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.10.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.【解】(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题.11.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.【解】(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题.拓展延伸12.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.【证明】(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有实根.设x2+mx+1=0的两个实根为x1,x2,由根与系数的关系知x1x2=1>0,所以x1,x2同号.又因为x1+x2=-m≤-2,所以x1,x2同为负根.(2)必要性:因为x2+mx+1=0的两个实根x1,x2均为负数,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=--2=-=-≥0.所以m≥2.综合(1)(2)知命题得证.2
