训练17数学思想在解题中的应用(一)(参考时间：80分钟)一、填空题1．函数f(x)＝x3－8的零点是________．2．若直线y＝a与函数f(x)＝的图象有3个交点，则实数a的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．4．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)－ln|x－1|＝0的根的个数为________．5．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝________.6．已知函数f(x)＝4x|x|－1.给出如下结论：①f(x)是R上的单调递增函数；②对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立；③函数y＝f(x)－2x＋1恰有三个零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3＝0.其中正确结论的序号为________．7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.8．若关于x的方程＝kx＋2只有一个实数根，则k的取值范围为________．9．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为________．10．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．二、解答题11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0，(1)求公差d的取值范围；(2)求出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由．12．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.已知函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，求实数c的取值范围．13.已知函数f(x)＝x＋sinx(x∈R)，且f(y2－6y＋11)＋f(x2－8x＋10)≤0，求当y≥3时，函数F(x，y)＝x2＋y2的最小值与最大值．14．(2012·徐州质检)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然数的底数，a∈R.(1)当a＜0时，解不等式f(x)＞0；(2)若f(x)在[－1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．参考答案训练17数学思想在解题中的应用(一)1．解析令f(x)＝0，即x3－8＝0，解得x＝2.答案22．解析作出函数f(x)的图象如图，由图象可知，当a∈(2,3)时，两个函数图象有3个交点．答案(2,3)3．解析作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0＜k＜1时，函数f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)．答案(0,1)14．解析因为函数y＝f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，又函数y＝f(x)是偶函数，所以关于y轴对称，所以函数y＝f(x)的周期是2，又当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，作出函数y＝f(x)的图象和y＝ln|x－1|的图象如图，由图象可知交点有6个．答案65．解析 函数f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，要使函数只有一个零点，则只能f(0)＝0，解得a＝±，代入检验：a＝时，f(x)＝x2＋|x|只有一个零点x＝0；a＝－时，f(x)＝x2－|x|有三个零点x＝0，，－，不适合题意，舍去，即a＝.答案6．解析逐一判断，由题意可知f(x)＝4x|x|－1＝作出图象如图，由图象可知f(x)是R上的单调递增函数，故①正确；图象关于点(0，－1)对称，即对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立，故②正确；因为函数y＝f(x)，y＝2x－1图象有3个交点，一个是(0，－1)，另外两个关于点(0，－1)对称，所以函数y＝f(x)－2x＋1恰有三个零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3＝0正确，即③正确，所以正确结论的序号是①②③.答案①②③7．解析由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案3或48．解析关于x的方程＝kx＋2只有一个实数根，等价于函数y＝，y＝kx＋2图象只有一个公共点，作出函数图象如图，由图象可知，直线与半圆只有一个公共点时，k＝0或k＞1或k＜－1.答案(－∞，－1)∪{0}∪(1，＋∞)9．解析根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数f(x)在R上的图象和y＝a(0＜a＜1)的图象如右图，由图象可知函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)共有5个零点，其中最左边两个零点x1＋x2＝－6，最右边两个零点x4＋x5＝6，中间一个零点x3是方程log2(1－x)＝a的根，解得x3＝1－...
