训练19空间向量与立体几何(参考时间：80分钟)1．(2012·南通调研)如图已知斜三棱柱ABCA1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且A1C⊥AC1.(1)求直线CC1与平面A1AB的距离；(2)求二面角AA1BC的余弦值．2．(2012·南京市四校月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．(1)AF为何值时，CF⊥平面B1DF?(2)设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．3．如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角APDF的余弦值．4．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．PA＝PD＝AD＝2.(1)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；(2)在(1)的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角MBQC的大小．5.(2012·南京模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上，且DQ＝λDC，若二面角PC1QC的余弦值为，求实数λ的值．6．(2012·泰州期末)如图，在三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面APC，AB＝BC＝AP＝PC＝，∠ABC＝∠APC＝90°.(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角MPAC的余弦值为，求BM的最小值．参考答案训练19空间向量与立体几何1．解(1)由题意，得A1D⊥面ABC. A1D⊂面ACC1A1⇒面ABC⊥面ACC1A1，∠BCA＝90°⇒BC⊥AC.又 BC⊂面ABC，且面ABC∩面ACC1A1＝AC，∴BC⊥面ACC1A1.取AB的中点F，连DF，∴DF∥BC，∴DF⊥平面ACC1A1.又在平行四边形ACC1A1中，AC1⊥A1C⇒平行四边形ACC1A1是菱形．∴分别以DF，DC，DA1所在直线为Ox，Oy，Oz轴建立空间直角坐标系，∴A(0，－1,0)，A1(0,0，)，B(2,1,0)，C(0,1,0)．AA1＝(0,1，)，A1B＝(2,1，－)，BC＝(－2,0,0)，1设n1＝(x1，y1，z1)是面AA1B的法向量，∴y1＋z1＝0,2x1＋y1－z1＝0，解得n1＝(，－，1)．∴cos〈n1BC〉＝＝－.∴点C到面A1AB的距离d＝|BC|×|cos〈n1，BC〉|＝2×＝.易得CC1∥面A1AB，所以点C到面A1AB的距离即为直线CC1与平面A1AB的距离d＝.(2)设n2＝(x2，y2，z2)是面A1BC的法向量，∴2x2＋y2－z2＝0，－2x2＝0，得n2＝(0，，1)．由(1)，得n1＝(，－，1)是面AA1B的法向量，∴cos〈n1，n2〉＝－.设二面角AA1BC的平面角为θ，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.2．解(1)因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，以B点为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AB＝BC＝，∠ABC＝90°，所以AC＝2，从而B(0,0,0)，A(，0,0)，C(0，，0)，B1(0,0，3)，A1(，0,3)，C1(0，，3)，D，所以CA1＝(，－，3)，设AF＝x，则F(，0，x)，CF＝(，－，x)，B1F＝(，0，x－3)，B1D＝.CF·B1D＝·＋(－)·＋x·0＝0，所以CF⊥B1D.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.由CF·B1F＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF.(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)．设平面B1CF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令z＝1得n＝，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos〈n，n1〉＝＝.3．解(1)证明 PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t) PF＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，∴PF·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令z＝1，解得：x＝y＝.∴n＝，设G点坐标为(0,0，m)，E，则EG＝，要使EG∥平面PFD，只需EG·n＝0，即×＋0×＋1×m＝m－＝0，得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．(3) AB⊥平面PAD，∴AB是平面PAD的法向量，易得AB＝(1,0,0)，又 PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，PA＝1，平面PFD的法向量为n＝∴cos〈AB，n〉＝＝＝，故所求二面角APDF的余弦值为.4．解(1)当t＝时，PA∥平面MQB证明如下：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB.∴＝＝， PA∥平面MQB，PA...
