2章章末归纳总结一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为(其中a≠0，b≠0)()①|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同②|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反③|a＋b|＝|a－b|⇔a与b有相等的模④|a|－|b|＝|a－b|⇔a与b方向相同A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]对于③当a与b互相垂直时，构成矩形时才有|a＋b|＝|a－b|因此③错，对于④当a与b方向相同且|b|≤|a|时才有|a|－|b|＝|a－b|因此④错，①②正确，故选C.2．(2010·广东文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3[答案]C[解析](8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.故选C.3．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．5NB．5NC．10ND．5N[答案]B[解析]|F1|＝|F|·cos60°＝5.4．直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，AB＝2i＋j，AC＝3i＋kj，则k的可能值个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)，BC＝(1，k－1)．当AB⊥BC时，AB·BC＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.当AB⊥AC时，AB·AC＝6＋k＝0，∴k＝－6.当AC⊥BC时，AC·BC＝3＋k2－k＝0，无解．所以满足要求的k的可能值有2个．用心爱心专心15．已知|a|＝3|b|≠0，且关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是()A.B.C.D.[答案]B[解析]∵关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，∴Δ＝4|a|2－24a·b≥0，即|a|2≥6a·b.∴|a|2≥6|a|·|b|cos〈a，b〉，又∵|a|＝3|b|≠0.∴cos〈a，b〉≤，∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.6．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于()A．－1B．1C．－2D．2[答案]C[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.7．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形[答案]D[解析]解法一：设AC的中点为G，则OB＋OD＝b＋d＝a＋c＝OA＋OC＝2OG，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．解法二：AB＝OB－OA＝b－a，CD＝OD－OC＝d－c＝－(b－a)＝－AB，∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．8．已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有AP＝tAB(0≤t≤1)，则OA·OP的最大值为()A．aB．2aC．3aD．a2[答案]D[解析]∵AP＝tAB，∴OP＝OA＋AP＝OA＋t(OB－OA)＝(1－t)OA＋tOB＝(a－at，at)用心爱心专心2∴OA·OP＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴OA·OP≤a2.二、填空题9．已知OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．[答案]m∈R且m≠[解析]若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．10．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a与b的夹角θ＝________.[答案]120°[解析]a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋e1·e2＋2|e2|2＝－，|a|＝＝，|b|＝＝，cosθ＝＝－，∴θ＝120°.11．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则b在a方向上的投影为________．[答案][解析]b在a方向上的投影为＝＝.三、解答题12．如右图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标．[解析]设点C坐标为(x，y)，由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，∴＝，∴＝，∴y＝2x.①又∵BC与AC共线，BC＝(x＋3，y－4)，AC＝(x－2，y)，∴(x＋3)·y－(x－2)·(y－4)＝0，∴4x＋5y－8＝0.②由①，②联立解之得∴C点的坐标为.13．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，求证：AF⊥DE.[证明]设AB＝a，AD＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，由条件知，AE＝a，BF＝b，∴DE＝AE－AD＝a－b，用心爱心专心3AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋b，∴DE·AF＝·＝a2＋a·b－b·a－b2＝0.即DE⊥AF，∴DE⊥AF.14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ.[解析]∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4a2－4a·b－3b2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.用心爱心专心4
