第二章2.32.3.41.若a=(-2,1),b=(x,-3),且a∥b,则x等于()A.B.C.D.6解析:∵a=(-2,1),b=(x,-3),a∥b,∴(-2)×(-3)-1×x=0,∴x=6.答案:D2.与a=(12,5)平行的单位向量为()A.B.C.或D.解析:设与a平行的单位向量为e=(x,y),则x2+y2=1.∵e∥a,∴设e=λa,即(x,y)=λ(12,5),∴x=12λ,y=5λ,代入x2+y2=1,得λ=±,故选C.答案:C3.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=()A.13B.-13C.9D.-9解析:AB=(-8,8),AC=(3,y+6).∵AB∥AC,∴-8(y+6)-24=0,∴y=-9,故选D.答案:D4.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7).若(a-c)∥b,则k=________.解析:a-c=(3-k,-6),∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,k=5.答案:55.向量a=(x,1),b=(9,x),若a与b共线且方向相反,则x=________.解析:x2=9,∴x=±3.又∵a与b方向相反,∴x=-3.答案:-36.已知三点A(1,-3),B,C(9,1),求证:A、B、C三点共线.证明:∵A(1,-3),B,C(9,1),∴AB==,AC=(9-1,1+3)=(8,4).又∵7×4=8×=28,∴AB∥AC且有公共点A,∴A、B、C三点共线.(时间:30分钟满分:60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍1难由向量共线求参数问题2、5、64、8由向量共线求轨迹方程79由向量共线求坐标1、310一、选择题(每小题4分,共6分)1.若P1(1,2),P(3,2)且P1P=2PP2,则P2的坐标为()A.(7,2)B.(-7,-2)C.(-4,-2)D.(4,2)解析:设P2(x,y),则由P1P=2PP2得(2,0)=2(x-3,y-2).∴得即P2=(4,2).答案:D2.若a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于()A.B.C.(1,2)D.(-1,-2)解析:c=(x+1,4),d=.∵3(x+1)=4,∴x=1,∴c=(2,4),d=,c-2d=(-1,-2),故选D.答案:D3.已知A(2,-1),B(3,1),若AB与向量a平行且方向相反,则a的坐标可以是()A.B.(2,1)C.(-1,2)D.(-4,-8)解析:AB=(3-2,1+1)=(1,2),设a=(x,y).∵a∥AB且方向相反,∴y=2x.令x=-4,y=-8.答案:D4.已知a=(-2,1-cosθ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.15°解析:由a∥b得-2-(1-cosθ)(1+cosθ)=0即=1-cos2θ=sin2θ,即sinθ=±,又∵θ为锐角,∴sinθ=,θ=45°,故选A.答案:A二、填空题(每小题4分,共12分)5.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且AC=2BD,则x+y=________.解析:∵AC=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2),BD=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),又2BD=AC,即(2x-4,2y-6)=(-1,2),∴解得∴x+y=.答案:26.设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.解析:λa+b=(λ+2,2λ+3),c=(-4,-7),∴=,∴λ=2.答案:27.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹形状是________.解析:设C(x,y),由题意得:(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)∴⇒∵α+β=1,∴x+2y-5=0,即点C的轨迹是直线AB.答案:直线AB三、解答题8.(10分)已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R),求y与λ的值.解:(1)设B(x,y).∵A(-1,-2),∴AB=(x+1,y+2)=(4,3),∴∴即B(3,1).同理可得D(-4,-3).∴线段BD的中点M的坐标为,即M.(2)∵PB=(1,1-y),BD=(-7,-4),∴由PB=λBD得(1,1-y)=λ(-7,-4),∴解得y=,λ=-.9.(10分)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且MA=2AN,求点N的轨迹方程.解:如图所示,设M(x0,y0),N(x,y),由MA=2AN,得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).∴代入方程(x-3)2+(y-3)2=4,整理得x2+y2=1.∴所求的轨迹方程为x2+y2=1.10.(12分)已知a=(1,1),b=(x,1),n=a+2b,v=2a-b.(1)若n=3v,求x;3(2)若n∥v,并说明此时两向量方向相同还是相反.解:∵a=(1,1),b=(x,1),∴n=a+2b=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3),v=2a-b=(2,2)-(x,1)=(2-x,1).(1)∵n=3v,∴(2x+1,3)=3(2-x,1),∴解得x=1.(2)∵n∥v,∴2x+1=3(2-x),∴x=1.此时,n=(3,3),v=(1,1),n=3v,∴n与v方向相同.4