应⽤回归分析,第4章课后习题参考答案第4章违背基本假设的情况思考与练习参考答案4.1试举例说明产⽣异⽅差的原因。答：例4.1：截⾯资料下研究居民家庭的储蓄⾏为Yi=?0+?1Xi+εi其中：Yi表⽰第i个家庭的储蓄额，Xi表⽰第i个家庭的可⽀配收⼊。由于⾼收⼊家庭储蓄额的差异较⼤，低收⼊家庭的储蓄额则更有规律性，差异较⼩，所以εi的⽅差呈现单调递增型变化。例4.2：以某⼀⾏业的企业为样本建⽴企业⽣产函数模型Yi=Ai?1Ki?2Li?3eεi被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异⽅差性。这时，随机误差项ε的⽅差并不随某⼀个解释变量观测值的变化⽽呈规律性变化，呈现复杂型。4.2异⽅差带来的后果有哪些？答：回归模型⼀旦出现异⽅差性，如果仍采⽤OLS估计模型参数，会产⽣下列不良后果：1、参数估计量⾮有效2、变量的显着性检验失去意义3、回归⽅程的应⽤效果极不理想总的来说，当模型出现异⽅差性时，参数OLS估计值的变异程度增⼤，从⽽造成对Y的预测误差变⼤，降低预测精度，预测功能失效。4.3简述⽤加权最⼩⼆乘法消除⼀元线性回归中异⽅差性的思想与⽅法。答：普通最⼩⼆乘估计就是寻找参数的估计值使离差平⽅和达极⼩。其中每个平⽅项的权数相同，是普通最⼩⼆乘回归参数估计⽅法。在误差项等⽅差不相关的条件下，普通最⼩⼆乘估计是回归参数的最⼩⽅差线性⽆偏估计。然⽽在异⽅差的条件下，平⽅和中的每⼀项的地位是不相同的，误差项的⽅差⼤的项，在残差平⽅和中的取值就偏⼤，作⽤就⼤，因⽽普通最⼩⼆乘估计的回归线就被拉向⽅差⼤的项，⽅差⼤的项的拟合程度就好，⽽⽅差⼩的项的拟合程度就差。由OLS求出的仍然是的⽆偏估计，但不再是最⼩⽅差线性⽆偏估计。所以就是：对较⼤的残差平⽅赋予较⼩的权数，对较⼩的残差平⽅赋予较⼤的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作⼀番校正，以提⾼参数估计的精度。加权最⼩⼆乘法的⽅法：4.4简述⽤加权最⼩⼆乘法消除多元线性回归中异⽅差性的思想与⽅法。答：运⽤加权最⼩⼆乘法消除多元线性回归中异⽅差性的思想与⼀元线性回归的类似。多元线性回归加权最⼩⼆乘法是在平⽅和中加⼊⼀个适当的权数iw，以调整各项在平⽅和中的作⽤，加权最⼩⼆乘的离差平⽅和为：∑=----=niippiiipwxxywQ1211010)(),,,(ββββββΛΛ（2）加权最⼩⼆乘估计就是寻找参数pβββ,,,10Λ的估计值pwwwβββ?,,?,?10Λ使式（2）的离差平⽅和wQ达极⼩。所得加权最⼩⼆乘经验回归⽅程记做220111()()NNwiiiiiiiiQwyywyxββ===-=--∑∑22__1_2__02222()()()1111,iiNwiiiwiwiwwwwwkxiiiimiiimiwxxyyxxyxwkxxkxwxσβββσσ==---=-=====∑∑1Ni=11表⽰=或ppwwwwxxyβββ110+++=Λ（3）多元回归模型加权最⼩⼆乘法的⽅法:⾸先找到权数iw，理论上最优的权数iw为误差项⽅差2iσ的倒数,即21iiwσ=（4）误差项⽅差⼤的项接受⼩的权数，以降低其在式（2）平⽅和中的作⽤;误差项⽅差⼩的项接受⼤的权数，以提⾼其在平⽅和中的作⽤。由（2）式求出的加权最⼩⼆乘估计pwwwβββ?,,?,?10Λ就是参数pβββ,,,10Λ的最⼩⽅差线性⽆偏估计。⼀个需要解决的问题是误差项的⽅差2iσ是未知的,因此⽆法真正按照式（4）选取权数。在实际问题中误差项⽅差2iσ通常与⾃变量的⽔平有关(如误差项⽅差2iσ随着⾃变量的增⼤⽽增⼤),可以利⽤这种关系确定权数。例如2iσ与第j个⾃变量取值的平⽅成⽐例时,即2iσ=k2ijx时,这时取权数为21ijixw=（5）更⼀般的情况是误差项⽅差2iσ与某个⾃变量jx(与|ei|的等级相关系数最⼤的⾃变量)取值的幂函数mijx成⽐例，即2iσ=kmijx,其中m是待定的未知参数。此时权数为mijixw1=（6）这时确定权数iw的问题转化为确定幂参数m的问题，可以借助SPSS软件解决。4.5（4.5）式⼀元加权最⼩⼆乘回归系数估计公式。证明：由得：220111()()NNwiiiiiiiiQwyywyxββ===-=--∑∑0100??QQββ==wwwiniiwiwiniixyxxwyyxxw102111)())((?βββ-=---=∑∑==4.6验证（4.8）式多元加权最⼩⼆乘回归系数估计公...
