•内积空间与希尔伯特空间•内积空间+完备性希尔伯特空间•欧氏空间线性空间+内积内积空间元素的长度（范数）两向量夹角与正交•内积空间特点：第一页，共三十五页。一、内积空间与希尔伯特空间的概念定义1设H是数域K上的线性空间，定义函数<·,·>:HHK,使得：对x,y,zH,K,满足则称为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间。：1)当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。;00,,0,)1xxxxx且;,,)2xyyx.,,;,,,)3zxzxzyzxzyx;,,,,,,)3zxyxxzxyxzyzyx;,,,)2zxyxzyx第二页，共三十五页。定义2(1)范数xxx,称为由内积诱导的范数。(2)距离函数yxyxyxyx,),(称为由内积诱导的距离。(2)内积与由内积诱导的范数的等式关系：)(41,2222iyxiiyxiyxyxyx(3)由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导出的范数,是线性赋范空间。但反之不然注:(1)内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系——许瓦兹不等式.,yxyx第三页，共三十五页。定理1线性赋范空间X是内积空间x,yX,有||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2(平行四边形公式或中线公式)3设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。第四页，共三十五页。例1n维欧氏空间Rn按照内积nkkkyxyx1,是内积空间。Rn中由内积导出的距离为2112,),(niiiyxyxyxyxRn按照由内积导出的范数nkkxx12因而是Hilbert空间。是Banach空间，第五页，共三十五页。l2按照由内积导出的范数12kkxx是Banach空间，因而是Hilbert空间。l2中由内积导出的距离为2112,),(iiiyxyxyxyx例2l2空间按照内积1,kkkyxyx是内积空间。(许瓦兹不等式)第六页，共三十五页。例3L2[a,b]空间按照内积dttytxyxba)()(,是内积空间。L2[a,b]按照由内积导出的范数212)(badttxx是Banach空间，因而是Hilbert空间。L2[a,b]中由内积导出的距离为212)()(,),(batytxyxyxyx第七页，共三十五页。C[a,b]中范数不满足平行四边形公式，例4C[a,b]按照范数是线性赋范空间，)(max],[txxbat但C[a,b]不是内积空间.证取x=1,y=(t-a)/(b-a)C[a,b]||x||=1,||y||=1||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2,||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2)因而不是由内积导出的范数C[a,b]不是内积空间第八页，共三十五页。证xnx||xn-x||0yny||yn-y||0|-|-|+|-|||xn-x||||yn||+||x||||yn-y||0(n)yxyxyxxxxnnnnn,,lim0,lim,定义4（极限）设X是内积空间，{xn}X,xX及yX,定理2设H是希尔伯特空间，则H中的内积是x,y的连续函数,即{xn}、{yn}H,x,yH,若xnx,yny,则.：距离函数、范数、内积都是连续函数（线性运算对内积的连续性）第九页，共三十五页。5(内积空间的同构)设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存在映射T:XY,保持线性运算和内积不变,即x,yX,,K,有(1)T(x+y)=Tx+Ty,(2)=则称内积空间X与Y同构,而称T为内积空间X到Y的同构映射。3设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是唯一的。第十页，共三十五页。在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平面上的正交投影向量x0是将向量的起点移到坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有x=x0+x1,其中x1该坐标平面。这时称x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个...
