内积空间与希尔伯特空间 讲座课件VIP免费

•内积空间与希尔伯特空间•内积空间+完备性希尔伯特空间•欧氏空间线性空间+内积内积空间元素的长度（范数）两向量夹角与正交•内积空间特点：第一页，共三十五页

一、内积空间与希尔伯特空间的概念定义1设H是数域K上的线性空间，定义函数:HHK,使得：对x,y,zH,K,满足则称为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间

：1)当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间

;00,,0,)1xxxxx且;,,)2xyyx

,,;,,,)3zxzxzyzxzyx;,,,,,,)3zxyxxzxyxzyzyx;,,,)2zxyxzyx第二页，共三十五页

定义2(1)范数xxx,称为由内积诱导的范数

(2)距离函数yxyxyxyx,),(称为由内积诱导的距离

(2)内积与由内积诱导的范数的等式关系：)(41,2222iyxiiyxiyxyxyx(3)由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导出的范数,是线性赋范空间

但反之不然注:(1)内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系——许瓦兹不等式

,yxyx第三页，共三十五页

定理1线性赋范空间X是内积空间x,yX,有||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2(平行四边形公式或中线公式)3设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间

第四页，共三十五页

例1n维欧氏空间Rn按照内积nkkkyxyx1,是内积空间

Rn中由内积导出的距离为2112,),(niiiyxyxyxyxRn按照由内积导出的范数nkkxx12因而是Hilbert空间

是Banac