(4)函数的单调性●知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)〔或都有f(x1)>f(x2)〕,那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解(1)图形刻画:对于给定区间上的函数f(x),函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减.(2)定性刻画:对于给定区间上的函数f(x),如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减.(3)定量刻画,即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3.函数单调性的判定方法:(1)定义法;设元→作差→变形→判断符号→给出结论;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;①增(或减)函数的倒数是减(或增)函数;②增(或减)函数的相反数是减(或增)函数;③增(或减)函数、的和是是增(或减)函数;④增(或减)函数与减(或增)函数的差是增(或减)函数;⑤若,则增(或减)函数与的积是增(或减)函数;若,则增(或减)函数与的积是减(或增)函数;;(4)复合函数的单调性:即“同增异减”法。(5)导数法(6)利用常用结论:奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性,互为反函数的两个函数具有相同的单调性。4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行。●点击双基1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=2.函数y=loga(x2+2x-3),当x=2时,y>0,则此函数的单调递减区间是()A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,+∞)3.函数y=log|x-3|的单调递减区间是____________.4.有下列几个命题:①函数y=2x2+x+1在(0,+∞)上不是增函数;②函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数;③函数y=的单调区间是[-2,+∞);④已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是___________________.5.已知f(x)是R上的减函数,则满足的x的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)●典例剖析【例1】如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数,求f(2)的取值范围.【例2】讨论函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.【例3】求函数y=x+的单调区间.深化拓展求函数y=x+(a>0)的单调区间.提示:函数定义域x≠0,可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性,再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.答案:在(-∞,-],(,+∞)上是增函数,在(0,],(-,0)上是减函数.【例4】定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.●闯关训练1.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a,则a的值为()A.B.C.2D.42.设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是()A.f(a+1)=f(2)B.f(a+1)>f(2)C.f(a+1)<f(2)D.不能确定3.函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞)4.函数y=-x的大致图象是()5(2011年重庆理5)下列区间中,函数在其上为增函数的是()(A)(B)(C)(D)6.(2011年天津理8)设函数,若,则实数的取值范围是().A.B.C.D.7.(2011年四川文4)函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是8.(2011年上海理16)下列函...