（4）函数的单调性●知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3.函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数的倒数是减（或增）函数；②增（或减）函数的相反数是减（或增）函数；③增（或减）函数、的和是是增（或减）函数；④增（或减）函数与减（或增）函数的差是增（或减）函数；⑤若，则增（或减）函数与的积是增（或减）函数；若，则增（或减）函数与的积是减（或增）函数；；（4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。（5）导数法（6）利用常用结论：奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性，互为反函数的两个函数具有相同的单调性。4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行。●点击双基1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x+5D.y=2.函数y=loga（x2＋2x－3），当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是（）A.（－∞，－3）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）3.函数y=log|x－3|的单调递减区间是____________.4.有下列几个命题：①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正确命题的序号是___________________.5.已知f(x)是R上的减函数，则满足的x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)●典例剖析【例1】如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x+5在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.【例2】讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.【例3】求函数y=x+的单调区间.深化拓展求函数y=x+（a＞0）的单调区间.提示：函数定义域x≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.答案：在（－∞，－］，（，+∞）上是增函数，在（0，］，（－，0）上是减函数.【例4】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.●闯关训练1.函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（）A.B.C.2D.42.设函数f（x）=loga|x|在（－∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（2）的大小关系是（）A.f（a+1）=f（2）B.f（a+1）＞f（2）C.f（a+1）＜f（2）D.不能确定3.函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）4．函数y=-x的大致图象是（）5（2011年重庆理5）下列区间中，函数在其上为增函数的是（）（A）（B）（C）（D）6.（2011年天津理8）设函数，若，则实数的取值范围是（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7.（2011年四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是8.（2011年上海理16）下列函...
