1华南理工大学2011—2012学年第一学期《应用随机过程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级__专业姓名学号题号一二三四总分得分一、填空题（每小题4分，共16分）1、设X是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量，且EX存在，C是F的子σ－域，定义E(XC)如下：（1）_______________；（2）_____________________________________________；2、设{N(t),t≥0}是强度为λ的Poisson过程，则N(t)具有_____、_____增量，且∀t>0，h>0充分小，有：P({N(t+h)−N(t)=0})＝________，P({N(t+h)−N(t)=1})＝_____________；3、设{W(t),t≥0}为一维标准Brown运动，则∀t>0，W(t)～____，且与Brown运动有关的三个随机过程____________、______________________、______________都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为________________________________________，其处理问题的实质在于______________________________________________________。二、证明分析题（共12分，选做一题）1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变量，并且具有得分得分2指数分布，即：P({X≤a})=1−e−λa，a>0，其中λ是正常数。设λ是另一个正常数，定义：Z=λλe−(λ−λ)X，由下式定义：P(A)=∫AZdP，∀A∈F；（1）证明：P(Ω)=1；（2）在概率测度P下计算的分布函数：P({X≤a})，a>0；2、设X0～U(0,1)，Xn+1～U(1−Xn,1)，n≥1，域流{Fn,n≥0}满足：Fn=σ(Xk,0≤k≤n)，n≥0；又设Y0=X0，Yn=2n⋅∏kn=11X−kX−1k，n≥1，试证：{Yn,n≥0}关于域流{Fn,n≥0}是鞅！三、计算证明题（共60分）1、（12分）假设X～E(λ)，给定c>0，试分别由指数分布的无记得分3E(XIA)忆性和E(XA)=，求E(XX>c)；P(A)2、（10分，选做一题）（1）设X～E(λ)，Y～E(μ)，λ>μ，且X,Y相互独立；∀c>0，设fXX+Y(xc)为给定X+Y=c时X的条件概率密度，试求之并由此求E(XX+Y=c)；⎧1（2）设(X,Y)～f(x,y)=⎪⎨x,0≤y≤x≤1;，试求fYX(yx)及⎪⎩0,其它；P(X2+Y2≤1X=x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X2+Y2≤1})；4题）（1）设X,Y独立同U[0,1]分布，试基3、（4分，选做一于微元法由条件密度求E(XX
