以“几个事实→一种观察→一般观点→从头验证→提出猜想”为指导的教学过程描述师：我们来做一个关于奇数的游戏（教师用多媒体展示下面拼图的过程）：由上面的几个拼图过程，你能观察到什么共性？注：第一个“单位正方形”的位置是“归纳的起点”；给“虚线”是为了突出“拼图过程”，以利于学生发现规律；“观察到什么共性”指明观察要求,引导学生思维。生1：可以看成正方形个数的相加，即1个正方形和3个正方形相加得到4个正方形。师：对，你把问题的表现形式（图形语言）翻译成了另一种形式（文字语言）。能不能从数及其运算的角度表示出来？生1：1+3=4。师：也许有的同学会认为这太“小儿科”了，但从接下来的表示中你会发现这种表示形式的转化在发现共性上的力量。下面的几个拼图呢？注：对学生的回答进行评价时，应当尽量指出优缺点及其理由，不能简单地以“对”“错”了事。“从数及其运算的角度表示”拼图过程是“1+3=4”的本质。另外，对“为什么要这样表示”一定要有所说明。生2：4个正方形和5个正方形相加得到9个正方形，即4+5=9。师：这太没意思了。能否从“拼图过程”这一角度再考虑一下？生2：哦，先由1个正方形和3个正方形拼成4个正方形，再由4个正方形和5个正方形拼成9个正方形，即1+3+5=9。接下来是1+3+5+7=16。师：对，“从头至尾”才反映了这个“过程”。这样我们得到对“几个实事”的“一种观察”：1=11+3=41+3+5=91+3+5+7=16注：生2的回答是很典型的一种“就事论事”，由此很难得到“共性”，其深层次根源是对“拼图过程”的理解不到位。因此，教师应当在强调从“拼图过程”角度思考问题的同时1指出其“从头至尾”的含义，这是获得共性的关键步骤之一。师：对比等式的右边和拼成的结果，上述观察是否充分？你有什么新的想法？生3：哦，由于每次拼图结果都得到一个新的正方形，而等式右边都是平方数，所以可以从面积的角度对拼图过程和结果作出解释：把第一个正方形看成单位正方形，那么就有1个单位正方形面积与3个单位正方形面积和等于一个边长为2的正方形的面积，即1+3=22；同理，有1+3+5=32；1+3+5+7=42。师：能否从数的角度观察算式的特点，并描述一下上述式子？生4：前2个正奇数的和是2的平方；前3个正奇数的和是3的平方；前4个正奇数的和是4的平方。师：接下来会是什么结论？生4：前5个正奇数的和是5的平方，即1+3+5+7+9=52。师：上述结果很容易从计算和拼图得到验证。请同学们猜想一下一般的情况，并用算式表达出来。生5：前n个正奇数的和是n的平方，算式是：1+3+5+…+(2n－1)=n2。注：上述过程体现了环环相扣的“问题引导”：首先，追究“一种观察”的充分性而引出“对比等式右边和拼图结果”进行再观察的任务，观察点的明确对获得更本质的共性非常重要；其次，“从数的角度观察算式的特点，并描述式子”引导学生把观察点放在“连续奇数的和”及其个数的平方；“接下来会是什么结论”为猜想一般结论奠定了基础；最后，水到渠成地归纳出一般情形的算式表达。师：对.请大家总结一下上述结论的获得过程，你觉得归纳推理的难点在哪儿？又该如何化解？生6：难点是规律的发现，也就是如何去观察，可以借助不同语言的转换来帮助我们去观察的。师：难点的确是“如何观察”，也就是要学会观察的方法。从上述过程可以看到，要发现“前n个正奇数的和是n的平方”这一共性，首要的是认真分析题意，得出“几个事实”的数学本质：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。其中有几点值得注意：一是拼图“过程”的数学解释，实际上就是要“保留中间结果地写出算式”，生2的第一次回答就没有把“过程”表现出来，可以想象，如果照此继续，共性就很难发现了；二是观察要彻底，实际上，“每次拼图的结果是一个新的正方形”是一个很重要的共性，这一点大家在开始时并没有注意到；三是不同语言的转换对我们发现共性也有重要作用，这是同学们已经注意到的。注：让学生总结一下归纳推理的难点和化解的办法是应该的，但学生的总结太笼统，不足以指导今后的类似学习，因此教师应注意帮助学生进行具体总结。2
