连续系统的数字仿真VIP专享VIP免费

第4章连续系统的数字仿真——数值积分法上一章从仿真原理方面讨论了连续系统的仿真方法。本章将从构造积分器的角度再对仿真方法做进一步的讨论。4.1欧拉法数值积分法是把微分方程化成积分运算，再进一步化成代数运算的过程，主要解决如何构造一个积分器，然后求出积分器的差分方程的问题。有了积分器就能很容易地对系统进行仿真了。数值积分法最初是从数值计算[56]的角度得到的。但是为了和第3章所讨论的方法统一起来，我们用插入离散再现环节的方法，以状态空间描述为基础，推出线性系统数值积分法的仿真模型[9]。仍假设线性系统的状态空间描述为（4-1）（4-2）式中——维状态向量；——维输入向量；——维系统矩阵；——维输入矩阵；——维输出向量；——维输出矩阵；——维传递矩阵。此系统的方框图如图4.1所示。在系统积分器入口e处加入离散再现环节，则可得到连续系统的另一离散相似系统，如图4.1所示图4.1线性定常系统的另一种离散相似系统框图从图4.1中，可得到（4-3）当时，（4-4）当时，（4-5）用式（4-5）减式（4-4）可得到(4-6)当取时，即（4-7）把式（4-7）代入式（4-6）得简记为（4-8）式（4-8）被称为欧拉公式。欧拉公式可以从图4.2的几何图形中得到解释。有了式（4-8），就很容易求出系统式（4-1）、式（4-2）的差分方程（4-9）（4-10）从图4.2可以看出，这种方法精度低（截断误差与成正比[56]），但是它的公式非常简单，不用求，因此在实时仿真中它的应用非常广泛。图4.2欧拉公式的几何解释4．2梯形法为了提高仿真精度，离散－再现环节采取图4.3的形式。即（4-11）图4.3梯形公式的离散-再现环节框图把式（4-11）代入式（4-6）可得（4-12）式（4-12）称为梯形公式，其几何解释如图4.4所示。图4.4梯形公式的几何解释由图4.1可知（4-13）（4-14）把式（4-13）、（4-14）代入式（4-12），得到系统的差分方程（4-15）（4-16）式（4-15）是一个隐式，因为求时，等式右边还有未知数。为了得到该式的显式形式，可把含的项移到方程左边，再整理而得到，即系统解的显式公式为（4-17）显然，式（4-17）要比式（4-9）的精度高些。但是，当系统阶次较高时，求是比较困难的。为此，在计算式（4-14）时，需要先估算的值。此时，可以设定离散－再现过程只有第1路信号（见图4.3），根据式（4-8）则有把上式代入式（4-14），用代替，则有（4-18）把式（4-13）、式（4-18）代入式（4-12）可得到系统解的简化显式公式为（4-19）此式没有矩阵求逆的运算，所以比式（4-17）容易计算。在仿真时，也可直接使用式（4-13）、式（4-18）、式（4-12）进行计算。【例4-1】已知一多变量系统的结构框图如图4.5所示，请用梯形公式对此系统进行仿真，并输出的仿真结果。图4.5多变量系统结构框图【解】根据图4.5，可得到该系统的状态方程及输出方程为依据式（4-13）有根据式（4-18）有根据式（4-12）有根据式（4-16）有计算步距及仿真时间的估算仿真程序清单如下：#include"graphics.h"/*头文件声明*/#include"math.h"#include"string.h"intVN=2;/*定义输出变量的个数*/floatOutputy[2][500],ST,DT;/*定义输出变量的最大维数*/intLP,i,j;/*定义仿真步数*/floatx10,x11,x20,x21,e10,e20,e11,e21,y1,y2;/*定义参数类型*/floatu1,u2;voidDispcurve();/*画图子程序*/main(){x10=0;x20=0;/*参数赋初值*/Outputy[0][0]=0;Outputy[1][0]=0;u1=1;u2=1;y1=0;y2=0;ST=100;DT=0.5;LP=(int)(ST/DT);for(i=1;i<=LP;i++)/*计算各个差分方程*/{e10=-0.12771*x10+0.04233*x20+12.771*u1-0.04235*u2;e20=0.01262*x10-0.08533*x20-1.262*u1+0.08534*u2;e11=-0.12771*(x10+DT*e10)+0.04233*(x20+DT*e20);e11=e11+12.771*u1-0.04235*u2;e21=0.01262*(x10+DT*e10)-0.08533*(x20+DT*e20);e21=e21-1.262*u1+0.08534*u2;x11=x10+DT*e10/2.0+DT*e11/2.0;x21=x20+DT*e20/2.0+DT*e21/2.0;y1=0.01*x11;y2=x21;Outputy[0][i]=y1;Outputy[1][i]=y2;/*输出值*/x10=x11;x20=x21;/*把X(k+1)放入X(k)*/}Dispcurve();/*调用画图子程序*/}多变量系统的仿真结果见图4.6。图4.6多变量系统的仿真结果4．3龙格－库塔（Runge-Kutta）法在非实时...