第五章 特征值的估计与表示VIP免费

引理5.1：设ACn×n，yCn为单位列向量，则1,||||||max||HmijijnyAyAna证明：设A=(aij)n×n，，则Tny),,,(2111||||nnHijijijyAya11nnijijija221,11||||max||2nnijijijnija2||max,1nnaijnji||||mA第5章特征值的估计与表示5.1特征值界的估计定理5.1：设ACn×n，B=（A+AH）,C=（A-AH），则A的任一特征值满足(1)||||A||m(2)|Re()|||B||m(3)|Im()|||C||m证明：设A属于的单位特征向量为y，则有Ay=y，即yHAy=yHy=，因此yAyHHH由引理，于是有mA||||||11|Re()|()22HHHmyAAyyByB121211|Im()|()22HHHmyAAyyCyC推论Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数．定理5.2：设，,则A的任一特征值满足1|Im()|2mnCn()nnijnnAaR1()2TCAA引理5.2：对任意实数，恒有12,,,n2211()nnkkkkn例：估计矩阵特征值的上界。05.08.01A解：由定理5.1，对A特征值，有：||2，|Re()|2，|Im()|1.3，由定理5.2，知其虚部的另一逼近为：21|Im()|1.30.6522其特征值为：1,21(10.6)2i632456.0||2,15.0|)Re(|2,11,2|Im()|0.387298nijiiijjniaa1),,2,1(|,|||定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cn×n的特征值为，则且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。定义（1）按行严格对角占优：（2）按行弱对角占优：nijiiijjniaa1),,2,1(|,|||上式至少有一个不等号严格成立。222212nFA12,,,n11222111()41101401,,10410114(,,)nnnnniiibcabcabcababcAB考察矩阵不可约都不为零，例1112112222(2),,,;.nnTRnAPAAPAPAAAA设矩阵如果存在置换阵使得为方阵，则称为可约矩阵否则为不可约矩阵021212212110)(ddyyAAAbPxPAPPTTT定义每行每列只有一个元素是1,其余元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).定义.,00不可约，否则可约若强连通则画箭头到画箭头，到ijjijiijPPaPPa图论法*.301212201),(4110140110410114（可约）不可约CB，列，行，交换3102103213012122012121C5.2特征值的包含区域定义5.1设A=(aij)Cn×n，记Ri=ji|aij|(i=l，…，n)，称区域Gi:|z-aii|Ri为矩阵A的第i个盖尔圆，其中Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n)。定理5.4矩阵A=(aij)Cn×n的所有特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内。证明:设λ为其特征值，为对应特征向量，且为其绝对值最大者，则有即Tn),,,(21iininiiiiiaaaa2211||||||111111niniiiiiiiiiiaaaaa定理5.5由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数．特征值相同时也重复计数)．证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵A(u)=D+uB则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝所著教材矩阵理论。||||111111ininiiiiiiiiiiiiaaaaa因此11|||nnkiiikikikkikikiaaaR例：讨论矩阵的特征值的分布。解：A的盖尔圆分别为|z-10|≤8和|z|≤5，这两个盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为都在盖尔圆|z-10|≤8中，而不在盖尔圆|z|≤5内。10850A1,2515)i需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中无特征值。...