集合列的特征函数1
1集合E的特征函数定义：对于X中的子集E，作=称：是定义在X上的集合E的特征函数
由定义知，特征函数在一定意义上作为集合E的代表
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算
2定理：对任意的集合列，有=，=，集列收敛的充要条件是它的特征函数列收敛，且=定理说明了集列取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序
集列收敛性与数列收敛性等价
证明：由特征函数的定义，=1或0，，设=1有无限个，使得=1，有无限个，使得，，=1（*1），设=0有无限个，使得=0有无限个，使得，，=0（*2）由（1）（2）式，得证
2迭代数列收敛性与特征函数2
定义：设=在区间I上有定义，数列满足迭代关系：=（n=1,2，……）（*3）若存在自然数N，使得当n>N时恒有I成立，则称F（x）和f（x）分别为迭代数列（*3）在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I上的生成迭代数列
引理：设f（x）是在区间I上有定义的单调函数，是I的内点
若存在，则f（x）在处连续
证明：不妨设=A，f（x）在区间I上单调增加
故当x,则A=
因此=A=，故在处连续
定理1：设=x-是迭代数列（*3）在区间I上连续的特征函数，且在I上单调增加
则若I=[a,b>且F（a）=0，则存在且等于a，若I=,,则有下界
再用反证法证明在I上单调减少：若存在自然数使得0），证明存在并求此极限
证明：由数学归纳法和均值定理可知，当时有（n=2,3，……）；当时有（n=2,3，……）
所以是分别在区间和上连续的特征函数
由F’=得在和上单调增加
所以由定理1得的极限存在且当时，；当时，
同理可证数列：（n=1,2，……；a>0）的极限存在且
例3：设数列满足迭代关系（n=1,2，……；，），证明：对任意的初值，存在并求此极限
