多项式练习题参考答案VIP免费

多项式练习题参考答案一、填空题1.f(x)x44x31,g(x)x23x1.则f(x)被g(x)除所得的商式为x2x2,余式为7x3.2．f(x),g(x),u(x),v(x)P[x],若u(x)f(x)v(x)g(x)2,则(f(x),g(x))1(u(x),v(x))1．3.f(x)anxna1xa0P[x]且an0,f(x)|g(x),(f(x),g(x))1f(x).an4．x22,(x1)(x3),0,2x4,x31中是本原多项式的为x22,(x1)(x3),x31.200025.多项式f(x)4(5x4)x2x12001(8x311x22)2002的所有系数之和＝1（取x1得到），常数项＝22002（取x0得到）.6.能被任一多项式整除的式项式是零多项式；能整除任意多项式的多项式一定是零次多项式.b7.多项式f(x)除以axb(a0)的余式为f().a8.设2x3x23x5a(x2)3b(x2)2c(x2)d，则a,b,c,d的值为2，9，23，13.9.f(x)x54x4x310x24x8在有理数上的标准分解式是(x1)2(x2)3.10.x23x2x4mx2px2，则m-6，p3.二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由)1．若u(x)f(x)v(x)g(x)d(x),则d(x)必为f(x)与g(x)的最大公因式.错.如f(x)x1,g(x)x1,u(x)x1,v(x)x，则d(x)x1，但f(x)与g(x)互素.12．若p(x)|f(x)g(x),p(x)在P上不可约，且p(x)|[f(x)g(x)]，则p(x)|f(x)且p(x)|g(x).对.由p(x)|f(x)g(x),p(x)在P上不可约可得p(x)|f(x)或p(x)|g(x).若又p(x)|[f(x)g(x)]，因此p(x)|[f(x)g(x)]f(x)，即p(x)|g(x).p(x)|f(x)，3．设p(x),f(x)为P上的多项式，且p(x)不可约.若p(x)为f'(x)的k重因式,则p(x)必为f(x)的k1重因式．错.如f(x)(x22)55，x22是f'(x)在Q上的4重因式，但x22不是f(x)的因式.4．有理系数多项式f(x)在Q上可约,则f(x)有有理根.错.如f(x)x44(x22)(x22)在Q上可约，但f(x)没有有理根.5.若q是整系数多项式f(x)的根，p,q为互素的整数，则(pq)f(1).p对.由q是整系数多项式f(x)的根可得pxq为f(x)的因式，即pf(x)(pxq)g(x)，且g(x)是整系数的，取x1可得(pq)f(1).6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约.错.一次实系数多项式有实根但不可约.7.若f(x)h(x)且g(x)h(x)，则f(x)g(x)h(x).错.缺f(x),g(x)互素.8.若g(x)|f(x)则f(x),g(x)1.|x31，但(x21,x31)x1错.如x219.数域P上的任意一个不可约多项式p(x)在复数域内没有重根.正确.10.多项式f(x)有重根当且仅当f(x)有重因式.2与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题1．设f(x)x4x3x22x1,g(x)x32x1,求(f(x),g(x))以及u(x),v(x),使u(x)f(x)v(x)g(x)(f(x),g(x)).解：利用辗转相除法得f(x)g(x)q1(x)r1(x)g(x)(x1)x2x,g(x)r1(x)q2(x)r2(x)(x2x)(x1)x1,r1(x)r2(x)q3(x)(x1)(x).因此(f(x),g(x))x1.又r2(x)g(x)r1(x)q2(x)g(x)(f(x)g(x)q1(x))q2(x)q2(x)f(x)(1q1(x)q2(x)).(f(x),g(x))r2(x)q2(x)f(x)(1q1(x)q2(x))g(x).所以u(x)q2(x)x1,v(x)1q1(x)q2(x)1(x1)(x1)x2.2．设f(x)x5x34x23x2(1)判断f(x)在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求f(x)在R上的标准分解式.解:（1）f(x)5x43x28x3.运用辗转相除法可得：(f(x),f(x))x2x1.x2x1为f(x)在R上二重因式.(2)由(1)可得f(x)在R上的标准分解式为f(x)(x2x1)2(x2).解法2:f(x)的可能有理根为1,2,经检验2为f(x)的有理根,由综合除法可得210143224642321012因此有f(x)(x42x33x22x1)(x2)(x2x1)2(x2).x2x1为3f(x)在R上二重因式.f(x)在R上的标准分解式为f(x)(x2x1)2(x2).3.已知f(x)x36x23px8，试确定p的值，使f(x)有重根，并求其根.解:若f(x)有重根,则f(x)(xa)2(xb)x3(2ab)x2(a22ab)xa2b.因此有2ab6,a2,a1,2a2ab3p,b2,解得或b8,a2b8.p4.p5.当p4时2为f(x)的3重根;当p5时1为f(x)的2重根...