颜色读数与物质浓度关系的数学建模作者：王雪萍来源：《经济数学》2018年第02期摘要比色法作为一种检测物质浓度的常用方法，是通过待测物质溶液颜色读数来推测所含物质浓度，根据所提供的物质浓度与不同色卡颜色读数的试验数据，对物质浓度和颜色读数进行相关性分析，拟合颜色读数与物质浓度的指数模型和建立灰色预测模型，对这两种模型的拟合值与原始值的误差进行比较分析，给出了颜色读数与物质浓度关系的优化模型.关键词物质浓度；指数模型；灰色预测；绝对误差；相对误差中图分类号O029文献标识码AAbstractAsacommonmethodoftestingmaterialconcentration，Colorimetryisspeculatingthematerialconcentrationbythecolorreadingofmaterialinsolution，whichbasedontheexperimentaldatabetweenprovidedmaterialconcentrationanddifferentcolouratlas.Toconductcorrelationanalysisaboutcolorreadingandmaterialconcentration，matchingtheexponentialmodelofcolorreadingandmaterialconcentration，thenestablishgraypredictionmodel.Comparethefittedvaluesofthesetwomodelswiththeerroroftheoriginalvalue，andgettheoptimizationmodeloftherelationshipbetweencolorreadingandmaterialconcentration.Keywordsmaterialconcentration；exponentialmodel；grayprediction；absoluteerror；relativeerror1问题提出比色法是目前常用的一种检测物质浓度含量的一种的方法，几乎所有的无机离子和有机化合物都可直接或间接地使用本方法测定，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了，其特点是操作简单，测定速度快，具有较高的准确度和灵敏度，广泛应用在工农业生产、医药卫生、环境保护和科学实验等领域.如：葡糖酒中酒精含量的测定［1］，水样中的氯化物含量［2］，牛乳中蛋白质的含量［3］，天花粉中二氧化硫残留量［4］,水中重金属铅离子快速检测［5］,金黄色葡萄球菌肠毒素B的检测［6］,矿物中锑含量的测定［7］等微量物质的分析检测中.而大部分的研究在于比色法中溶液的配置、光波的波长和吸光度对检测物质浓度的影响,而对于色卡读数的大小与物质浓度的高低的关系的研究较少.由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差,使得这一方法在精度上受到很大影响.随着照相技术和颜色分辨率的提高,希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系,即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度.需要研究和解决如下问题：一是根据提供的5种物质在不同浓度下的颜色读数的试验数据，讨论这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣.二是根据二氧化硫的试验数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析[8].2问题分析与假设由于提供的不同色卡的颜色读数与不同物质浓度数据中，每一种物质在同浓度下都存在一组或者是多组实验值，为了准确预测物质浓度和颜色读数之间的关系，对各物质在同浓度下的颜色读数取均值，用均值进行分析和建立模型.对于问题一，每种物质在不同浓度下有不同的颜色读数，首先做出物质浓度与各颜色读数的散点图，分析物质浓度与颜色读数的散点图有无趋势，来判断二者有无相关性；其次，对物质浓度和5种颜色读数做相关性检验，根据相关系数大小，确定能否判断颜色读数与物质浓度之间的关系.然后根据物质浓度和颜色读数的散点图趋势和相关系数的大小评价数据的优劣.对于问题二，根据提供的数据，算出二氧化硫在同浓度下颜色读数的均值，计算物质浓度与颜色读数之间的相关系数，比较各相关系数大小和散点图趋势形状，选择相关系数较大的色卡颜色读数，考虑到实验数据量较少，适合进行插值拟合或选择灰色预测模型，因此，分别对物质浓度和色卡颜色度数拟合指数模型和建立灰色预测模型，并计算两种模型下原始数据与预测数据的绝对误差和相对误差，相比较选择最优模型.由于在比色分析法中，温度、时间、光的强度、眼睛对颜色的观察偏差等对试验结果都会产生影响，为了问题的顺利解决，做出如...
