限时训练16数列的求和与数列的综合应用一、选择题1.数列{an}的前n项和为Sn,若,则S5等于()A.1B.C.D.解析:,∴S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝.答案:B2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()611C.S1213解析:由a2+a6+a10＝3a6为常数,则a6为常数.∴为常数.故选B.答案:B3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C解析:对数列{an}的相邻两项结合后,再求和.答案:B4.已知{an}是等差数列,a1+a2＝4,a7+a8＝28,则该数列前10项和S10等于()A.64B.100C解析:设公差为d,则由已知得.答案:B5.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若,S4＝20,则S6等于()A.16B.24C.36解析:由题意,知S46＝3+15d＝48.答案:D6.如果f(a+b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2,则等于()A.4016B.1004C.2008D.2006解析:由f(a+b)＝f(a)·f(b)得f(n+1)＝f(n)·f(1),,S＝2×1004＝2008.答案:C上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,设椭圆的右焦点为F,数列{|PFn|}是公差大于的等差数列,则n的最大值为…()A.2005B.2006C.1002D.1003解析:数列{|PFn|}是以1为首项,|PFn|＝3为末项的等差数列,3＝|PFn|＝1+(n-1)d,(n-1)d＝2,由d＞可得答案.答案:B8.设{an}为各项均是正数的等比数列,Sn为{an}的前n项和,则()A.B.C.D.解析:由题意得q＞0,当q＝1时,有;当q≠1时,有,所以.故选B.答案:B9.(2009安徽合肥高三第一次质检,理5）已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S10＞0并且S11＝0,若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为()A.{5}B.{6}C.{5，6}D.{7}解析:由S10＞0，并且S11＝0，知a6＝0,a11＜0,所以d＜0.故S5＝S6n≤Sk对n∈N*恒成立，所以正整数k构成集合为{5，6}.答案:C10.已知数列{an}的通项公式是,其中a、b均为正常数,那么an与an+1的大小关系是()n＞an+1n＜an+1C.an＝an+1解析:将an看成,又a、b为正数,∴f(x)＞0.恒成立,即关于n是递增的.∴an+1＞an.答案:B二、填空题11.设数列{an}的通项为an＝2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|＝___________.解析:由an＝2n-7≤0得n≤,ai≤0(i＝1,2,3),Sn＝a1+a2+…+an＝n2+n-7n＝n2-6n.所以|a1|+|a2|+…+|a15|＝-a1-a2-a3+a4+a5+…+a15＝-2S3+S15＝-2×(-9)+135＝153.答案:153,…的前n项和等于________.解析: ,∴原式＝.答案:13.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列,则q等于__________.解析:公比q＝1时,不符合题意,∴q≠1.∴.解得.答案:14.定义一种“*”运算:对于n∈N*,满足以下运算性质:①2*2＝1;②(2n+2)*2＝3(2n*2).则用含n的代数式表示2n*2为_________.解析:由已知得,令an＝2n*2,当n＝1时,a1＝2*2＝1＝30;n＝2时,a2＝4*2＝(2+2)*2＝3(2*2)＝3＝31;n＝3时,a3＝6*2＝(2×2+2)*2＝3(4*2)＝32,亦可知a4＝33,a5＝34,…,则可得2n*2＝3n-1.答案:3n-1三、解答题15.已知数列{log2(an-1)}为等差数列,且a1＝3,a2＝5.(1)求证:数列{an-1}是等比数列;(2)求的值.(1)证明：设log2(an-1)-log2(an-1-1)＝d(n≥2),∴d＝log2(a2-1)-log2(a1-1)＝log24-log22＝1.∴log2(an-1)＝n.∴an-1＝2n.∴(n≥2).∴{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得an-1＝(a1-1)·2n-1,∴an＝2n+1.∴.16.已知数列{an}的通项求其前n项和Sn.解:当n为奇数时,以奇数项组成以a1＝1为首项,公差为12的等差数列;偶数项组成以a2＝4为首项,公比为4的等比数列.∴.当n为偶数时,奇数项和偶数项各有项,∴.教学参考例题志鸿优化系列丛书【例1】(2009河北保定高三第一学期调研,22）已知正项数列{an}满足an+12-an2-2an+1-2an＝0,a1n＝n3-3n2+5-an.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)试比较an与bn的大小;(理)(3)设,且数列{cn}的前n项和为Sn,求的值.解:(1)由an+12-an2-2an+1-2an＝0,得(an+1+an)(an+1-an-2)＝0.因为an＞0,所以an+1-an-2＝0,an+1-an＝2.所以数列{an}是以a1＝1为首项,以2为公差的等差数列.所以an＝1+(n-1)×2＝2n-1,bn＝n3-3n2+5-an＝n3-3n2+5-2n+1＝n3-3n2-2n+6.(2)由(1)得bn-an＝n3-3n2-2n+6-(2n-1)＝n3-3n2-4n+7,当n＝1时,b1-a1＝1-3-4+7＝1＞0b1＞a1;当n＝2时,b2-a2＝23-3×22-4×2+7＝-5＜0b2＜a2;当n＝3时,b3-a3＝33-3×32-4×3+7＝-5＜0b3＜a3;...
