第5节 线性子空间的基与维数VIP免费

注释注释22例子表明线性空间一定有基。例子表明线性空间一定有基。nK（（11）一般线性子空间一定有基吗？）一般线性子空间一定有基吗？（（22）基中向量个数都相等吗？）基中向量个数都相等吗？（（33）线性子空间中的基个数有限还是无限？）线性子空间中的基个数有限还是无限？引理引理5.25.2设与设与是线性空是线性空12,,,s12,,,ri)i)向量组向量组可经线性表出可经线性表出；；12,,,s12,,,r则向量组则向量组必线性相关。必线性相关。12,,,sii)sr，间间VV的两个向量组，的两个向量组，如果两个向量组满足如果两个向量组满足二、线性子空间基的性质二、线性子空间基的性质要证要证线性相关线性相关，，12,,,s使得使得12,,,,skkk证明证明由条件由条件i)i)，，1122,jjjrjraaa11220.sskkk作线性组合作线性组合1122ssxxx令令即证有不全为零的数即证有不全为零的数1sjjjx11srjijijixa11rsjijiijxa11srjijijixa常数1,2,,.js如果能找到不全为如果能找到不全为00的的，12,,,,sxxx121110sssjjjjjrjjjjxaxaxa11220.ssxxx显然这组不全为显然这组不全为00的数也使的数也使12,,,sxxx从而线性相关。从而线性相关。12,,,s把它看成一把它看成一个方程组，个方程组，看它有无非看它有无非零解零解使使112211rsssjijiijxxxxa由条件由条件ii)ii)，，所以它有非零解。所以它有非零解。121110sssjjjjjrjjjjxaxaxa111122121122221122000ssssrrrssaxaxaxaxaxaxaxaxax的个数的个数ss，，该方程组中方程的个数该方程组中方程的个数rr＜未知量＜未知量12,,,(),ssn已经知道已经知道1(1,1,,,1,1),2(0,1,,1,1),3(0,0,,1,1),(0,0,,0,1),n,线性空间的一个基。线性空间的一个基。nK对的任意向量组对的任意向量组nK由于中每个向量都可由由于中每个向量都可由12,,,s12,,,n线性表示，线性表示，于是由命题于是由命题5.25.2知线性相关。知线性相关。1,,s推论推论5.35.3中线性无关的像两个数不超过中线性无关的像两个数不超过n.n.nK事实上线性无关向量个数恰好是事实上线性无关向量个数恰好是nn定理5.4数域K上n维向量空间V的每个非0子空间W都存在基。证明令是令是WW的一的一个线性无关向个线性无关向12,,,r因为因为W是非是非00子空间，子空间，所以所以W存在线性无存在线性无关关的向量组。的向量组。量组，量组，满足对满足对WW的任意向量的任意向量,12,,,,r向量组向量组都线性相关。都线性相关。于是可由线于是可由线性表示，性表示，12,,,r因此，因此，12,,,r是是WW的一个基。的一个基。注释注释33教材求的过程类似一个教材求的过程类似一个“算法”，“算法”，12,,,r该过程可转化为矩阵来实现。该过程可转化为矩阵来实现。引理引理5.25.2可等价的表述为可等价的表述为引理引理5.25.2设与设与是线性空是线性空12,,,s12,,,ri)i)向量组向量组可经线性表出可经线性表出；；12,,,s12,,,riiii))向量组向量组线性无关线性无关,,12,,,s间间VV的两个向量组，的两个向量组，如果两个向量组满足如果两个向量组满足.sr则则推论5.5设设WW数域数域KK上上nn维向量空间维向量空间VV的子空间的子空间,,则WW的所有基都包含相同个数的向量。的所有基都包含相同个数的向量。证明证明.sr由于由于BB可由可由AA线性表示并且线性表示并且BB线性无关，线性无关，12:,,,,rA12:,,,sB假设下面是假设下面是WW的两个任意基的两个任意基于是于是.rs由于由于AA可由可由BB线性表示并且线性表示并且AA线性无关，线性无关，于是于是因此，因此，.sr定义5.2设设WW数域数域KK上上nn维向量空间维向量空间VV的非的非00子空间子空...