考研数学《线性代数》考点知识点总结VIP专享VIP免费

大学数学二元线性方程ax+ay1112ax+ay2122=baabaab1D1112,D=112,D=111=baa1ba2ab22122222212排列的逆t=刀（1为排列P1P2APn中大于P且排于Pi前的元素个数）t=1t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t=0标准排列。n阶行列D=det(a)=ij11121naaAa21222MMMaaAan1n2n=工(-1)taaAa1P12P2弘”t为列标排列的逆序定理1：定理2：2.互换行列式的两行（列），行列推论：两行（列）完全相同的行列式等记作：r导r(c导c)nDT-D.ijij记作：r=r(c=c)nD=-D=0.ijij3.行列式乘以k等于某行（列）所有元素都推论:某一行（列）所有元素公因子可提到行列式的记作：kD=r记作：kD=r十k(kD=c十k).ii行列式的5.D=aaA(a+a')AaaaAaAaaaAa'Aa111211i111121i111121i1aaA(a+a')AaaaAaAaaaAa'Aa212222i2nD=21222i2+21222i2MMMMMMMMMMMMaaA(a+a')AaaaAaAaaaAa'Aan1n2nninn1n2ninn1n2nin对角行列式=尢尢A尢,n(n-1)“““=(-1)2九九A九上D(下DT)a11aa2122MM0aaAn1n2=aaAa1122nn第一章行列式排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数n阶行列式可定义为D=E(-1)taaAa=工(-1)taaAa.Pj1P22Pnn1P]2p2np”4•两行（列）元素成比例的行列式为零•记作：r=rxk（c=cxk）nD=0.jljI6.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.记作：cTc+kc(rTr+kr),D不变.iijiij注：任何“阶行列式总能利用行运算r+kr化为上（下）三角行列式.上式为列变换，行变换同样成an三角形行列式大学数学a11MKa1kMD=det(a)=1ja11MAa1kMaKaaAa若对Dk1kk设k1kkcKcbKbbAb111k111k111nMMMMD=det(b)=MMcKcbKb2bAbk1kkk1kkn1nn则有D=D1D若2n阶行列式D2n有D2”=(ad-bc)n.ab444242nO44#代数余子式：A=(―1),+jMijij定理3：（代数余子范德蒙德111A1xxxAx123nD=x2x2x2Axn123nMMMMxn-1xn-1xn-1Axn-1123n克拉默法ax+ax+A+ax=b,1111221nn1ax+ax+A+ax=b,设方稈组22112222nn2'AAAAAAAAAAax+ax+A+ax=bn11n22nnnnaAa111n若D=MMHo，则方程组有惟一解an1Aanx=1,x=2,A,x=n，其中D=1D2DnDjaAabaAa111,j-111,j+11nMMMMM(j=1,2,A,n).aAabaAan1n,j-1nn,j+1nn余子式：n阶行列式中把a所在的第i行和第j列去掉后，余下n-1阶行列式.ij引理：n阶行列式D中，若第i行所有元素除a外都为零，则有D二aA.ijijij行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘机之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘机之和等于零.另aA二D8=[D，当，或另aA二D8=[D，当，=j，其中5屮当=㈠kkjij[0,当i主j；k_iikjkij[0,当i主j;ij[0,当i丰j.定理4：若上线性方程组的系数行列式DHo，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则D三o.定理5：若齐次线性方程组（bn=Q）的系数行列式D丰0，则齐次线性方程组无韭零解；若有非零解，则D三0.第二章矩阵及其运算n阶单位矩阵（单位阵）：对角矩阵（对角阵）:纯量阵:(10A0](210A0]0A0]01A002A0XE=02A0E=A=2MMMMMMMMMj00A1J100A2Jn100A2JEA=AE二A.另可记作A二二diag(九,九,A,九).12n(XE)A=XAA(XE)=XA.矩阵与矩若A=(a〕•是:一个mxs矩阵，B=（b）是一个sxn矩阵，且C=AB，则C=(c)是一个mxn矩阵，阵相乘：ijijij=n(x-x).证明用数学归纳法.n>i>j>1j且c=ab+ab+A+ab(i=1,2,A,m；j=1,2,A,n).若AB=BA，称A与B是可交换的.•••-l-1•矩阵转若A=(a.)，则AT=(a)(A+B)T二AT+BT,(AB)T二BTAT若A=AT,A为对称阵方阵的行列n阶方阵A元素构成的行列式，记A或detA.方阵行列式的运算规伴随矩(A11A12MjA1nA21A22MA..为行列式|A代数余子式.中对应元素的AA*=A*A=AEA二AA-i=1逆矩定理1:若矩阵A可逆，则A丰定理2:若A丰0，则矩阵A可逆，且奇异矩当A=0时，A称为奇异矩阵.矩阵A可运算规1.(A-1)-1=A；2.(九A)-1=1A-1；3.(AB)-1=B-1A-1；4.(AT)-1=(A-1)T.A矩阵A的m次多项式：9(A)=aE+aA+aA2A+aAm011m申（A）f（A）二f（A加（A），多项式可相乘1.若A=PAP-1，则Ak=PAkP-1，2.A=盹⑺1，九2,A,An）（对角阵），则Ak=diag（叫,讣,冬）,甲(A)二P®()P-1.9(A)=diag(®(A1),®(A2),A,®(九nM加减相乘与矩阵相分块矩阵的运算规行向(A11若A=M'AT11MATjs1(、aT1aT2则AT=A=mxnA...