第40讲数学归纳法及应用【学习目标】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．进一步体会归纳、猜想、证明的意义，提升归纳推理、抽象概括的能力．【基础检测】1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4C2．在数列{an}中，a1＝13，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4猜想an的表达式为()A.1nn＋2B.13nC.12n－12n＋1D.12n＋1－1C3．平面内有n个圆，其中任何两圆都交于不同两点，且无任何三圆相交于同一点，在用数学归纳法证明，这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，在原来k个满足题设条件的圆将平面分得的部分基础上新增加的部分应为()A．k个B．2k个C．k＋1个D．2k＋1个B【解析】当n＝k时，平面上k个圆将平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分，若依题设条件新增一个圆，则该圆与原k个圆交于2k个不同的点，这2k个交点将该圆弧分成2k段圆弧，而每段圆弧将原有平面区域分为两个部分，故新增2k个部分，故选B.4．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2D5．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52.由此猜测第n个不等式为．1＋12＋13＋…＋12n－1>n2(n∈N*)【知识要点】一、归纳法由一系列有限的得出的推理方法叫做归纳法．二、数学归纳法对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法叫做.特殊事例一般性结论数学归纳法三、数学归纳法证明步骤1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立．(2)(归纳递推)假设(k≥n0，k∈N*)时命题成立，再证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从____开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．第一个值n0n＝kn＝k＋1n0假设时结论成立，推得时结论亦成立验证时结论成立n＝k(k≥n0且k∈N*)n＝k＋1n=n0归纳奠基归纳递推从而命题对从开始的所有n都成立n02．用框图表示数学归纳法的步骤一、应用数学归纳法证明整除问题例1是否存在正整数m(m≥2)，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36.由此猜想m的最大值为36.下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除．(1)当n＝1时显然成立．(2)假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．当n＝k＋1时．[2(k＋1)＋7)·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知，对一切正整数n，都有f(n)能被36整除，故m的最大值为36.【点评】本题是探索性问题通过特殊情况进行探索，再对一般情况用数学归纳法证明，特殊到一般是一种重要的数学思想方法，它常与数学归纳法相伴，从而走到完美，用数学归纳法证整除性问题时，首先要从要证的式子中拼凑出能利用归纳假设的式子，然后证明剩余式子也能被该数(或式)整除，拼凑是关键．二、用数学归纳法证明恒等式例2对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)．【解析】设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．即n＝k＋1时，命题成立．∴由(1)(2)可...
